ऊर्जा घनत्व का व्यंजक निम्नवत है $$u=\frac{\alpha}{\beta} \sin \left(\frac{\alpha x}{k t}\right)$$, जहाँ $$\alpha$$ एवं $$\beta$$ स्थिरांक हैं, $$x$$ विस्थापन है, $$k$$ वोल्टजमैन स्थिरांक है एवं $$t$$ तापमान है। $$\beta$$ की विमाऐं होंगी :

$$10 \mathrm{~kg}$$ द्रव्यमान का कोई पिण्ड, क्षैतिज से $$45^{\circ}$$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। पिण्ड का प्रक्षेप्य पथ एक बिन्दु $$(20,10)$$ से होता हुआ गुजरता है। यदि उड्डयन काल $$\mathrm{T}$$ है, तो समय $$\mathrm{t}=\frac{\mathrm{T}}{\sqrt{2}}$$ पर संवेग सदिश होगा : [ दिया है : $$g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ ]

$$M$$ द्रव्यमान का एक गुटका, किसी खुरदुरे आनत तल पर नियत वेग से नीचे की तरफ फिसल रहा है। आनत तल क्षैतिज के साथ $$\theta$$ कोण बना रहा है। सम्पर्क बल (Contact force) के परिमाण का मान होगा :

किसी '$$l$$' लम्बाई वाले, $$30^{\circ}$$ कोण पर झुके, घर्षणरहित आनत पर नीचे फिसलने में गुटके '$$\mathrm{A}$$' को $$2 \mathrm{~s}$$ का समय लगता है, जब निकाय को एकसमान वेग '$$v$$' से ऊपर जा रहे लिफ्ट में रखा जाता है। यदि आनत कोण का मान बदलकर $$45^{\circ}$$ हो जाए तो गुटके को आनत पर नीचे फिसलने में लगा समय लगभग होगा :

किसी गोली का वेग एक तिहाई हो जाता है जब यह एक लकडी के गुटके को $$4 \mathrm{~cm}$$ तक भेदती है। माना गुटके में गति के दौरान, गोली एक नियत प्रतिरोध का अनुभव कर रही है। गोली गुटके के अन्दर $$(4+x)$$ पर रुक जाती है। $$x$$ का मान है :

$$\mathrm{m}$$ द्रव्यमान का कोई पिण्ड, $$\lambda ~v_{\mathrm{e}}$$ वेग से धरातल से आसमान में उर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। $$v_{\mathrm{e}}$$ पलायन वेग है, एवं $$\lambda<1$$ है। यदि हवा का प्रतिरोध नगण्य है, तो यह पिण्ड पृथ्वी के केन्द्र से कितनी अधिकतम ऊँचाई तक जाएगा ?

( $$\mathrm{R}$$ : पृथ्वी की त्रिज्या)

$$3.2 \mathrm{~m}$$ लम्बे स्टील के तार $$\left(\mathrm{Y}_{\mathrm{s}}=2.0 \times 10^{11} \mathrm{Nm}^{-2}\right)$$ एवं $$4.4 \mathrm{~m}$$ लम्बे ताँबे के तार $$\left(\mathrm{Y}_{\mathrm{c}}=1.1 \times 10^{11} \mathrm{Nm}^{-2}\right)$$ की त्रिज्याऐं समान $$1.4 \mathrm{~mm}$$ की हैं, इन दोनों तारों के सिरे एक-दूसरे से जुड़े हैं। जब यह किसी लोड के द्वारा खीचें जाते हैं, तो परिणामी प्रसार का मान $$1.4 \mathrm{~mm}$$ है। आरोपित भार (लोड) का मान न्यूटन में होगा : ( दिया है : $$\frac{22}{7}$$ )

स्वातंत्रता की कोटि ( डिग्री ऑफ फ्रीडम) के सम्बंध में निम्न में से कौन सा कथन सही है ?

(A) एक अणु जिसकी स्वातंत्रत्य कोटि $$\mathrm{n}$$ है, वह $$\mathrm{n}^{2}$$ अलग-अलग माध्यमों से ऊर्जा संचित कर सकता है।

(B) प्रत्येक स्वातंत्रता की कोटि $$\frac{1}{2} \mathrm{~RT}$$ औसत ऊर्जा प्रति मोल से सम्बंधित होती है।

(C) एकल परमाणवीय गैस के अणुओं की घूर्णन की स्वंत्रता की कोटि 1 होती है जबकि द्विपरमाणवीय अणुओं की घूर्णन कीं स्वतंत्रता की कोटि 2 होती हैं।

(D) $$\mathrm{CH}_{4}$$ की कुल स्वातंत्रता कोटि 6 है।

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।

$$4 ~\mu \mathrm{C}$$ के किसी आवेश को, दो आवेशों में विभाजित किया जाता है। विभाजित आवेशों के बीच की दूरी नियत है। यदि उनके बीच में अधिकतम बल लग रहा है, तो विभाजित आवेशों का परिमाण होगा :

(A) चालक के तापमान में वृद्धि के साथ, इलेक्ट्रॉनों के अपवाह वेग का मान घटता है।

(B) अपवाह वेग का मान, दिए हुए चालक के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(C) अपवाह वेग, चालक पर आरोपित विभवान्तर के मान पर निर्भर नहीं करता है।

(D) इलेक्ट्रानों के अपवाह वेग का मान, चालक की लम्बाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(E) चालक के तापमान में वृद्धि के साथ, अपवाह वेग का मान बढता है।

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए।

किसी साइक्लोट्रॉन का प्रयोग, प्रोटॉनों को त्वरित करने के लिए किया जाता है। यदि कार्यकारी चुम्बकीय क्षेत्र का मान $$1.0 \mathrm{~T}$$ है एवं साइक्लोट्रॉन की 'डीज' की त्रिज्या $$60 \mathrm{~cm}$$ है, तो त्वरित प्रोटॉनों की गतिज ऊर्जा का मान ($$\mathrm{MeV}$$ में) होगा :

[ यदि $$\mathrm{m}_{\mathrm{p}}=1.6 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}, \mathrm{e}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$$ ]

किसी $$\mathrm{LCR}$$ श्रेणी परिपथ में $$\mathrm{L}=0.01 \mathrm{~H}, \mathrm{R}=10 ~\Omega$$ एवं $$\mathrm{C}=1 ~\mu \mathrm{F}$$ है, एवं यह $$50 \mathrm{~V}$$ आयाम वाले किसी विभव $$\left(v_{\mathrm{m}}\right)$$ से जुडा हुआ है। अनुनादी आवृत्ति से $$60 \%$$ कम आवृत्ति पर धारा के आयाम का सन्निकट मान होगा :

विद्युत चुम्बकीय $$(\mathrm{EM})$$ तरंगों के प्रसिद्ध गुणों की नीचे दी गई व्याख्या में से सही कथन ज्ञात कीजिए।

(A) किसी समतलीय विद्युत चुम्बकीय तरंग में, विद्युत क्षेत्र एवं चुम्बकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लम्बवत होने चाहिए एवं तरंग के संचरण की दिशा विद्युत क्षेत्र या चुम्बकीय क्षेत्र के अनुदिश होनी चाहिए।

(B) विद्युत चुम्बकीय तरंग में निहित ऊर्जा, विद्युत एवं चुम्बकीय श्रोतों में एक समान रूप से विभाजित होती है।

(C) विद्युत क्षेत्र एवं चुम्बकीय क्षेत्र, दोनों एक-दूसरे के समानान्तर होते हैं, एवं तरंग के संचरण की दिशा के लम्बवत होते हैं।

(D) विद्युत क्षेत्र, चुम्बकीय क्षेत्र एवं तरंग संचरण की दिशा, आपस में एक-दूसरे के लम्बवत होने चाहिए।

(E) चुम्बकीय क्षेत्र के आयाम एवं विद्युत क्षेत्र के आयाम का अनुपात प्रकाश की चाल के बराबर होता है।

नीचे दिए गए विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त उत्तर चुनिए :

प्रकाश के दो कला-संबद्ध स्रोतों का व्यतिकरण होता है, जिनकी तीव्रताओं का अनुपात $$1: 4$$ है। इस व्यतिकरण पैटर्न के लिए यदि $$\frac{\mathrm{I}_{\max }+\mathrm{I}_{\min }}{\mathrm{I}_{\max }-\mathrm{I}_{\min }}$$ का मान $$\frac{2 \alpha+1}{\beta+3}$$ के बराबर है। तो $$\frac{\alpha}{\beta}$$ का मान होगा :

फोटो विद्युत प्रभाव के प्रेक्षण के सन्दर्भ में, नीचे दिए गए कथनों में से सही कथन चुनिए :

(A) फोटो इलेक्ट्रान के अधिकतम वेग का वर्ग, आपतित प्रकाश की आवृत्ति के साथ सरल रेखीय रूप से परिवर्तित होता है।

(B) यदि प्रकाश स्रोत, धात्विक तल से दूर जाता है तो संतृप्त धारा का मान बढ़ता है।

(C) प्रकाश के एलईडी (प्रकाश उत्सर्जक डायोड) स्रोत की शक्ति के घटने पर, फोटो इलेक्ट्रानों की अधिकतम गतिज ऊर्जा का मान घटता है।

(D) धात्विक तल से फोटो-इलेक्ट्रानों के तात्क्षणिक उत्सर्जन की व्याख्या, प्रकाश या विद्युतचुम्बकीय तरंग के कणीय व्यवहार के द्वारा नहीं की जा सकती है।

(E) देहली तरंगदैर्ध्य के अस्तित्व की व्याख्या, प्रकाश या विद्युतचुम्बकीय तरंगों के तरंग व्यवहार के द्वारा नहीं की जा सकती है।

नीचे दिए गए विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त उत्तर चुनिए :

यंग गुणांक ज्ञात करने के एक प्रयोग में, पाँच अलग-अलग लम्बाइयों $$(1,2,3,4$$ एवं $$5 \mathrm{~m})$$ किन्तु समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $$\left(2 \mathrm{~mm}^{2}\right)$$ वाले स्टील के तार लिए गए हैं, एवं प्रसार-लोड (भार) वक्र प्राप्त किए गए हैं। तारों की लम्बाई के साथ, वक्रों के ढ़ाल (प्रसार/लोड) को आरेखित किया गया है, एवं निम्न ग्राफ प्राप्त किया गया है। दिये गये स्टील के तारों का यंग गुणांक $$x \times 10^{11} \mathrm{~Nm}^{-2}$$ है। $$x$$ का मान ____________ है।

मीटर सेतु के प्रयोग के दिए हुए चित्र में, धारामापी के शून्य विक्षेप के लिए, संतुलन लम्बाई $$\mathrm{AC}$$ का मान $$40 \mathrm{~cm}$$ है। यदि तार $$\mathrm{AB}$$ की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए, तो संतुलन लम्बाई का मान ____________ $$\mathrm{cm}$$ होगा।

एक $$6^{\circ}$$ कोण वाले पतले प्रिज्म जिसका पीले प्रकाश के लिए अवर्तनांक $$\left(\mathrm{n}_{\mathrm{Y}}\right) 1.5$$ है, को $$5^{\circ}$$ कोण एवं $$\mathrm{n}_{\mathrm{Y}}=1.55$$ वाले दूसरे प्रिज्म के साथ संयोजित किया जाता है। संयोजन से कोई वर्ण विक्षेपण नहीं होता है। संयोजन से हुआ कुल औसत विचलन $$\left(\frac{1}{x^{\circ}}\right)$$ है। $$x$$ का मान ___________ है।

चुम्बकीय क्षेत्र $$\overrightarrow{\mathrm{B}}=\left(3 \mathrm{t}^{3} \hat{j}+3 \mathrm{t}^{2} \hat{k}\right)$$ (SI मात्रक में) की उपस्थिति में, एक चालक वृत्ताकार घेरा $$\mathrm{X}-\mathrm{Y}$$ तल में रखा जाता है। यदि घेरे की त्रिज्या $$1 \mathrm{~m}$$ है, तो समय $$\mathrm{t}=2$$ सेकेन्ड पर, घेरे में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) का मान $$\mathrm{n} \pi \mathrm{~V}$$ है $$\mathrm{n}$$ का मान ___________ है।

चित्र में प्रदर्शित संधारित्र में स्थायी अवस्था में संचित आवेश का मान ____________ $$\times 10^{-6} \mathrm{~C}$$ होगा।

एक समानान्तर पट्टिका संधारित्र की पट्टियों की चौडाई $$4 \mathrm{~cm}$$, लम्बाई $$8 \mathrm{~cm}$$ एवं उनके बीच की दूरी $$4 \mathrm{~mm}$$ है, जो कि एक $$20 \mathrm{~V}$$ वाली बैट्री से जुडा है। एक 5 परावैद्युतांक वाला परावैद्युत गुटका पट्टियों के बीच में रखा जाता है, जिसकी लम्बाई $$1 \mathrm{~cm}$$, चौडाई $$4 \mathrm{~cm}$$ एवं मोटाई $$4 \mathrm{~mm}$$ है। इस निकाय की स्थैतिक वैद्युत ऊर्जा का मान ___________ $$\epsilon_{0} ~\mathrm{J}$$ होगा।

(जहाँ $$\epsilon_{0}$$, मुक्त आकाश की विद्युतशीलता है)

एक $$30 \mathrm{~cm}$$ लम्बा तार दो स्थिर आधारों के बीच खींचा हुआ है, जिसकी $$\mathrm{n}$$ वीं एवं $$(\mathrm{n}+1)$$ वीं संनादी (harmonic) क्रमश: $$400 \mathrm{~Hz}$$ एवं $$450 \mathrm{~Hz}$$ में हैं। यदि तार पर $$2700 \mathrm{~N}$$ की तन्यता है, तो इसका रेखीय द्रव्यमान घनत्व ______________ $$\mathrm{kg} / \mathrm{m}$$ है।

किसी $$6 \mathrm{~cm}$$ त्रिज्या वाले गोलाकार साबुन के बुलबुले के अन्दर, एक $$3 \mathrm{~cm}$$ त्रिज्या वाला गोलाकार साबुन का बुलबुला बना है। यदि उपरोक्त निकाय में, $$3 \mathrm{~cm}$$ त्रिज्या वाले छोटे बुलबुले का आन्तरिक दाब, किसी अन्य $$\mathrm{r} \mathrm{~cm}$$ त्रिज्या वाले अकेले साबुन के बुलबुले के आन्तरिक दाब के बराबर है, तो $$\mathrm{r}$$ का मान _____________ होगा।

एक ठोस बेलन, जिसको दो द्रव्यमानरहित रस्सियों के द्वारा सममित रूप से चित्रानुसार लटकाया गया है। रस्सियों को खोलने पर, यदि यह बेलन गिरता है, तो अपनी आरम्भिक स्थिर स्थिति के सापेक्ष ____________ $$\mathrm{cm}$$ दूरी के बाद यह $$4 \mathrm{~ms}^{-1}$$ की चाल प्राप्त कर लेगा। (यदि $$\mathrm{g}=10 \mathrm{~ms}^{-2}$$ )

दो आनत तल चित्र में दर्शाये अनुसार रखे हुए हैं। $$\mathrm{AB}$$ आनत तल के $$\mathrm{A}$$ बिंदु में एक गुटके को तल के अनुदिश मात्र इतने वेग से प्रक्षेपित किया जाता है कि बस यह आनत तल के शीर्ष तक पहुँच सके, जो कि $$10 \mathrm{~m}$$ की ऊँचाई पर है। बिंदु $$\mathrm{B}$$ पर पहुँचने के बाद यह गुटका $$\mathrm{B C}$$ तल पर फिसलता है। बिन्दु $$\mathrm{A}$$ से $$\mathrm{C}$$ पर पहुँचने में इसे $$t(\sqrt{2}+1)_{S}$$ का समय लगता है। $$\mathrm{t}$$ का मान ___________ होगा।

$$\left(\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right.$$ प्रयोग करें)