एक चर त्रिभुज की दो भुजाओं के समीकरण $$x=0$$ तथा $$y=3$$ हैं तथा इसकी तीसरी भुजा परवलय $$y^{2}=6 x$$ की एक स्पर्श रेखा है। तो इसके परिकेन्द्र का बिंदुपथ है

बिंदु $$(2,0,5)$$ से रेखा $$\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+1}{-1}$$ पर लंब का पाद $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ है। तो निम्न में से कौन सा सही नही है?

$$f(n)+\frac{1}{n} f(\mathrm{n}+1)=1, \forall \mathrm{n} \in\{1,2,3\}$$

को संतुष्ट करने वाले फलनों

$$f:\{1,2,3,4\} \rightarrow\{\mathrm{a} \in: \mathbb{Z}|a| \leq 8\}$$

की संख्या है

माना दो न्याय पासे फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का योग $$\mathrm{N}$$ है तथा माना कि $$N-2, \sqrt{3 N}, N+2$$ के गुणोत्तर श्रेढी में होने की प्रायिकता $$\frac{k}{48}$$ है। तो $$\mathrm{k}$$ बराबर है

यदि फलन $$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}(1+|\cos x|)^ \frac{\lambda}{|\cos x|} & , 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \mu & , \quad x=\frac{\pi}{2} \\ e^\frac{\cot 6 x}{{\cot 4 x}} &, \frac{\pi}{2} < x < \pi\end{array}\right.$$

$$x=\frac{\pi}{2}$$ पर संतत है, तो $$9 \lambda+6 \log _{\mathrm{e}} \mu+\mu^{6}-\mathrm{e}^{6 \lambda}$$ बराबर है

माना $$3 \times 3$$ के आव्यूहों $$\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$$ में $$\mathrm{A}$$ सममित है तथा $$\mathrm{B}$$ और $$\mathrm{C}$$ विषम सममित हैं। कथनों

(S1) $$\mathrm{A}^{13} \mathrm{~B}^{26}-\mathrm{B}^{26} \mathrm{~A}^{13}$$ सममित है

(S2) $$\mathrm{A}^{26} \mathrm{C}^{13}-\mathrm{C}^{13} \mathrm{~A}^{26}$$ सममित है

का विचार कीजिए। तो

रेखाओं $$x+1=2 y=-12 z$$ तथा $$x=y+2=6 z-6$$ के बीच न्यूनतम दूरी है

माना अतिपरवलय $$16 x^{2}-y^{2}+64 x+4 y+44=0$$ के अनुप्रस्थ तथा संयुग्मी अक्ष क्रमश: $$\mathrm{T}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ है। तो परवलय $$x^{2}=y+4$$ के ऊपर, अनुप्रस्थ अक्ष $$\mathrm{T}$$ के नीचे तथा संयुग्मी अक्ष की दायी तरफ के क्षेत्र का क्षेत्रफल है

माना फलन $$f(x)=2 x^{3}+(2 p-7) x^{2}+3(2 p-9) x-6$$ का एक उच्चिष्ठ किसी $$x < 0$$ पर है तथा एक निम्ननिष्ठ किसी $$x > 0$$ पर है। तो $$\mathrm{p}$$ के सभी मानों का समुच्चय है

माना $$z$$ एक सम्मिश्र संख्या है तथा $$\left|\frac{z-2 i}{z+i}\right|=2, z \neq-i$$ हैं। तो $$z$$, त्रिज्या $$2$$ के एक वृत्त पर है जिसका केन्द्र है

समाकलन $$16 \int_\limits{1}^{2} \frac{d x}{x^{3}\left(x^{2}+2\right)^{2}}$$ बराबर है

माना फलन $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$, किसी $$m$$ के लिए $$f(x)=\log _{\sqrt{m}}\{\sqrt{2}(\sin x-\cos x)+m-2\}$$ द्वारा परिभाषित है तथा $$f$$ का परिसर $$[0,2]$$ है। तो $$m$$ का मान है ___________

बिना पुनरावृत्ति के अंकों $$1,3,5,7,9$$ के प्रयोग से $$5000$$ तथा $$10000$$ के बीच बनाई जा सकने वाली संख्याओं की संख्या है

माना अवकल समीकरण

$$\frac{d y}{d t}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$$

जहाँ $$\alpha > 0, \beta > 0$$ तथा $$\gamma > 0$$ हैं, का हल $$y=y(t)$$ है। तो $$\lim_\limits{t \rightarrow \infty} y(t)$$

माना $$A=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{10}} & \frac{3}{\sqrt{10}} \\ \frac{-3}{\sqrt{10}} & \frac{1}{\sqrt{10}} \end{array}\right]$$ तथा $$B=\left[\begin{array}{cc} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{array}\right]$$ है, जहाँ $$i=\sqrt{-1}$$ है। यदि $$\mathrm{M}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{B} \mathrm{A}$$ है, तो आव्यूह $$\mathrm{AM}^{2023} \mathrm{~A}^{\mathrm{T}}$$ का व्युत्क्रम है

$$\sum_\limits{k=0}^{6}{ }^{61-k} C_{3}$$ बराबर है

माना $$f(x)=2 x^{n}+\lambda, \lambda \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$$, और $$f(4)=133, f(5)=255$$ हैं। तो $$(f(3)-f(2))$$ के सभी धनात्मक पूर्णांक भाजकों का योग है

किसी जनसंख्या का $$25 \%$$ धुम्रपान करते हैं। एक धुम्रपान करने वाले को फेफड़े में कैंसर होने की संभावना, धुम्रपान न करने वाले की अपेक्षा $$27$$ गुना है। एक व्यक्ति के फेफड़े में कैंसर होंने का पता चलता है तथा इस व्यक्ति के धुम्रपान करने की प्रायिकता $$\frac{k}{10}$$ हे। तो $$\mathrm{k}$$ का मान है ___________.

$$\mathrm{X}$$-अक्ष, $$\mathrm{Y}$$-अक्ष तथा रेखा $$3 x+4 y=60$$ एक त्रिभुज बनाते हैं। तो ऐसे बिंदुओं $$\mathrm{P}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$$, जहाँ $$\mathrm{a}$$ एक पुर्णांक है तथा $$\mathrm{b}, \mathrm{a}$$ का एक गुणज है, जो त्रिभुज के अंदर हैं, की संख्या है ______________.

$$(2023)^{2023}$$ को $$35$$ से विभाजित करने पर शेषफल है __________

यदि $$\int_\limits{\frac{1}{3}}^{3}\left|\log _{e} x\right| d x=\frac{m}{n} \log _{e}\left(\frac{n^{2}}{e}\right)$$ है, जहाँ $$\mathrm{m}$$ तथा $$\mathrm{n}$$ असहभाज्य धन पूर्णांक हैं, तो $$m^{2}+n^{2}-5$$ बराबर है __________

माना अनिल की माँ एक टोकरी, जिसमें 7 लाल सेब, 5 सफेद सेब तथा 8 संतरे हैं, में से 5 फल अनिल को देना चाहती है। यदि टोकरी से लिए गए 5 फलों में कम से कम 2 संतरे, कम से कम एक साल सेब तथा कम से कम एक सफेद सेब अवश्य होने चाहिएँ, तो अनिल की माँ द्वारा अनिल को 5 फल देने के तरीकों की संख्या है __________

दो घनात्मक संख्याओं $$a, \mathrm{~b}$$ के लिए, यदि $$a, b$$ तथा $$\frac{1}{18}$$ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं और $$\frac{1}{a}, 10$$ तथा $$\frac{1}{b}$$ एक समांतर श्रेढ़ी में है, तो $$16 a+12 b$$ बराबर है ____________.

यदि बिंदुओं $$(1,2,3)$$ तथा $$(2,3,4)$$ को मिलाने वाली रेखा तथा रेखा $$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{0}$$ के बीच न्यूनतम दूरी $$\alpha$$ है, तो $$28 \alpha^{2}$$ बराबर है ____________.

मान $$a \in \mathbb{R}$$ तथा समीकरण $$x^{2}+60^{\frac{1}{4}} x+a=0$$ के मूल $$\alpha, \beta$$ हैं। यदि $$\alpha^{4}+\beta^{4}=-30$$ है, तो $$a$$ के सभी संभव मानों का गुणनफल है _________.