माना एक फलन $$f: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}, \quad f(n)=\left[\begin{array}{ll} 2 n, & n=2,4,6,8, \ldots \\ n-1, & n=3,7,11,15, \ldots \\ \frac{n+1}{2}, & n=1,5,9,13, \ldots \end{array}\right.$$ द्वारा परिभाषित है | तो $$f$$

यदि रेखिक समीकरण निकाय

$$ \begin{aligned} &2 x+3 y-z=-2 \\ &x+y+z=4 \\ &x-y+|\lambda| z=4 \lambda-4 \end{aligned} $$

जहाँ $$\lambda \in \mathbb{R}$$ है, का कोई हल नहीं है, तो

बिना पुनरावृति के अकों $$1,2,3,5,6,7$$ के उपयोग द्वारा बनाई गई 5-अकों की संख्याओं, जो कि 6 की गुणज हैं, की कुल संख्या है

माना $$A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots$$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं की वर्धमान गुणोत्तर श्रेढ़ी है । यदि $$A_{1} A_{3} A_{5} A_{7}=\frac{1}{1296}$$ तथा $$A_{2}+A_{4}=\frac{7}{36}$$ हैं, तो $$A_{6}+A_{8}+A_{10}$$ का मान बराबर है

माना $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है । तो समाकलन $$\int\limits_{0}^{1}\left[-8 x^{2}+6 x-1\right] d x$$ का मान बराबर है

माना $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left[\begin{array}{ll}{\left[e^{x}\right],} & x<0 \\ a e^{x}+[x-1], & 0 \leq x < 1 \\ b+[\sin (\pi x)], & 1 \leq x < 2 \\ {\left[e^{-x}\right]-c,} & x \geq 2\end{array}\right.$$ द्वारा परिभाषित है, $$a, b, c \in \mathbb{R}$$ हैं तथा $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक $$\mathrm{t}$$ है । तो निम्र कथनों में से कौन सा सत्य है?

क्षेत्र $$\mathrm{S}=\left\{(x, y): y^{2} \leq 8 x, y \geq \sqrt{2} x, x \geq 1\right\}$$ का क्षेत्रफल है

माना अवकल समीकरण $$\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] x \frac{d y}{d x}=x+\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] y$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$ बिंदुओं $$(1,0)$$ तथा $$(2 \alpha, \alpha), \alpha>0$$ से होकर जाता है, तो $$\alpha$$ का मान बराबर है

माना अवकल समीकरण $$x\left(1-x^{2}\right) \frac{d y}{d x}+\left(3 x^{2} y-y-4 x^{3}\right)=0, x>1$$ का हल $$y=y(x)$$ है तथा $$y(2)=-2$$ है । तो $$y(3)$$ बराबर है

$$x^{7}+5 x^{3}+3 x+1=0$$ के वास्तविक हलों की संख्या है

3-अंकों की याहच्छया चुनी गई संख्या में कम से कम दो अंक विषम होने की प्रायिकता है

माना समुच्चय $$\{1,2, \ldots, 50\}$$ पर दो संबंध $$R_{1}$$ तथा $$R_{2}$$ निम्न प्रकार हैं :

$$R_{1}=\left\{\left(p, p^{n}\right): p\right.$$ एक अभाज्य संख्या है तथा $$n \geq 0$$ एक पूर्णांक है $$\}$$ तथा

$$R_{2}=\left\{\left(p, p^{n}\right): p\right.$$ एक अभाज्य संख्या है तथा $$n=0$$ या 1 है $$\}$$

तो $$R_{1}-R_{2}$$ में अवयवों की संख्या है ___________.

समीकरण $$e^{4 x}+4 e^{3 x}-58 e^{2 x}+4 e^{x}+1=0$$ के वास्तविक हलों की संख्या है ____________.

15 प्रेक्षणों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 3 ज्ञात किए गए । पुनः जाँच करने पर पाया गया कि प्रेक्षण 20 को गलती से 5 पढ़ा गया था । तो सही प्रसरण बराबर है ____________.

माना तीन सदिश $$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$ इस प्रकार हैं कि $$\vec{c}$$, सदिशों $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ के सह-तलीय है, $$\vec{a} \cdot \vec{c}=5$$ है तथा $$\vec{b}$$, सदिश $$\vec{c}$$ के लंबवत है । यदि $$\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}, \quad \vec{b}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$$, तथा $$\vec{c}=c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}$$ हैं, तो $$122\left(c_{1}+c_{2}+c_{3}\right)$$ का मान है _____________.

बिंदु $$\mathrm{P}(2,3)$$ से होकर जाने वाली रोशनी की एक किरण $$x$$-अक्ष पर बिंदु $$\mathrm{A}$$ से परावर्तित होती है तथा परावर्तित किरण बिंदु $$\mathrm{Q}(5,4)$$ से होकर जाती है । माना बिंदु $$\mathrm{R}$$, रेखाखंड $$\mathrm{AQ}$$ को $$2: 1$$ के अनुपात में अंतः विभाजित करता है । माना कोण $$\mathrm{PAQ}$$ के समद्विभाजक पर $$\mathrm{R}$$ से लंब के पाद $$\mathrm{M}$$ के निर्देशांक $$(\alpha, \beta)$$ हैं । तो $$7 \alpha+3 \beta$$ का मान बराबर है _______________.

माना पूर्णांकों का एक समुच्चय $$\mathrm{A}=\left\{1, a_{1}, a_{2}, \ldots . a_{18}, 77\right\}$$ है तथा $$1 < a_{1} < a_{2}<\ldots < a_{18} < 77$$ हैं | माना समुच्चय $$A+A=\{x+y: x, y \in \mathrm{A}\}$$ में मात्र 39 अवयव हैं । तो $$a_{1}+a_{2}+\ldots.+a_{18}$$ का मान है ______________.

धनात्मक पूर्णांकों $$k$$, जिनके लिए $$\left(2 x^{3}+\frac{3}{x^{k}}\right)^{12}, x \neq 0$$, के द्विपद प्रसार में अचर पद $$2^{8} \cdot \ell$$ है, जहाँ $$\ell$$ एक विषम संख्या है, की संख्या है ___________.

समुच्चय $$\{z=a+i b \in \mathbb{C}: a, b \in \mathbb{Z}$$ तथा $$1<|\mathrm{z}-3+2 i|<4$$ हैं $$\}$$ में अवयवों की संख्या है ____________.