उस बहुभुज का क्षेत्रफल, जिसके शीर्ष समीकरण $$\bar{z}=i z^{2}$$ के अवास्तविक मूल हैं, है :

माना रैखिक समीकरण निकाय $$x+2 y+z=2, \alpha x+3 y-z=\alpha,-\alpha x+y+2 z=-\alpha$$ असंगत है। तो $$\alpha$$ बराबर है :

यदि $$x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \mathrm{a}^{\mathrm{n}}, y=\sum\limits_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \mathrm{b}^{\mathrm{n}}, z=\sum\limits_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \mathrm{c}^{\mathrm{n}}$$ हैं, जहाँ $$\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$$ एक A.P. में हैं तथा $$|\mathrm{a}|<1,|\mathrm{~b}|<1,|\mathrm{c}|<1$$, $$\mathrm{abc} \neq 0$$ हैं, तो :

माना $$\mathrm{a}$$ एक पूर्णांक है जिसके लिए $$\lim\limits_{x \rightarrow 7} \frac{18-[1-x]}{[x-3 \mathrm{a}]}$$, जहाँ [t] महत्तम पूर्णांक $$\leqslant \mathrm{t}$$ है, का अस्तित्व है। तो $$\mathrm{a}$$ बराबर है :

समीकरण $$x^{4}-4 x+1=0$$ के भिन्न वास्तविक मूलों की संख्या है :

यदि $$\cos ^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=\log _{\mathrm{e}}\left(\frac{x}{5}\right)^{5},|y|<2$$ हैं, तो :

यदि $$\int \frac{\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{x}}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x=f(x) \mathrm{e}^{x}+C$$ है, जहाँ $$\mathrm{C}$$ एक अचर है, तो $$x=1$$ पर $$\frac{\mathrm{d}^{3} f}{\mathrm{~d} x^{3}}$$ बराबर है :

समाकलन $$\int\limits_{-2}^{2} \frac{\left|x^{3}+x\right|}{\left(e^{x|x|}+1\right)} \mathrm{d} x$$ का मान बराबर है :

यदि $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{2^{x-y}\left(2^{y}-1\right)}{2^{x}-1}=0, x, y>0, y(1)=1$$ हैं, तो $$y(2)$$ बराबर है :

एक समद्विबाहु त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ का शीर्ष $$\mathrm{A}$$ बिंदु $$(6,1)$$ पर है तथा आधार $$\mathrm{BC}$$ का समीकरण $$2 x+y=4$$ है। माना बिंदु $$\mathrm{B}$$, रेखा $$x+3 y=7$$ पर स्थित है। यदि $$\Delta \mathrm{ABC}$$ का केन्द्रक $$(\alpha, \beta)$$ है, तो $$15(\alpha+\beta)$$ बराबर है :

माना दीर्घवृत्त $$\frac{x^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{y^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1, \mathrm{a}>\mathrm{b}$$, की उत्केन्द्रता $$\frac{1}{4}$$ है। यदि यह दीर्घवृत्त बिंदु $$\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$$ से होकर जाता है, तो $$\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}$$ बराबर है :

यदि दो सरल रेखाएँ, जिनकी दिक्कोज्याएँ $$l+\mathrm{m}-\mathrm{n}=0,3 l^{2}+\mathrm{m}^{2}+\mathrm{cn} l=0$$ द्वारा दी गई हैं, समांतर हैं, तो $$\mathrm{c}$$ का धनात्मक मान है :

माना $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{c}}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$$ हैं। तो सदिशों $$\overrightarrow{\mathrm{b}}$$ की संख्या, जिनके लिए $$\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}$$ तथा $$|\vec{b}| \in\{1,2, \ldots, 10\}$$ हैं, है :

संख्याओं $$1,2,3, .....,18$$ से पाँच संख्याएँ $$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$$ यदृच्छया चुनी जाती हैं तथा उन्हें वर्धमान क्रम $$({x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4} < {x_5})$$ में व्यवस्थित किया जाता है। $$x_{2}=7$$ तथा $$x_{4}=11$$ होने की प्रायिकता है :

$$\cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{6 \pi}{7}\right)$$ का मान बराबर है :

$$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)+\cos ^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right)+\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$$ का मान बराबर है :

माना फलन $$f: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}, f(x)=\frac{2 \mathrm{e}^{2 x}}{\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}}$$ द्वारा परिभाषित है। तो $$f\left(\frac{1}{100}\right)+f\left(\frac{2}{100}\right)+f\left(\frac{3}{100}\right)+\ldots+f\left(\frac{99}{100}\right)$$ बराबर है ________________ |

यदि समीकरण $$\mathrm{e}^{2 x}-11 \mathrm{e}^{x}-45 \mathrm{e}^{-x}+\frac{81}{2}=0$$ के सभी हलों का योगफल $$\log _{\mathrm{e}} \mathrm{p}$$ है, तो $$\mathrm{p}$$ बराबर है ____________ |

16 समरूप घन, जिनमें से 11 नीले हैं तथा शेष लाल हैं, को एक पंक्ति में इस प्रकार रखने के तरीकों, कि किन्हीं भी दो लाल घन के बीच कम-से-कम 2 नीले घन हों, की संख्या है ____________ ।

यदि $$\left(\frac{\sqrt{x}}{5^{\frac{1}{4}}}+\frac{\sqrt{5}}{x^{\frac{1}{3}}}\right)^{60}$$ के द्विपद प्रसार में $$x^{10}$$ का गुणांक $$5^{\mathrm{k}} \cdot l$$ है, जहाँ $$l, \mathrm{k} \in \mathbf{N}$$ तथा $$l, 5$$ सहअभाज्य (co-prime) हैं, तो $$\mathrm{k}$$ बराबर है ___________ |

माना

$$\mathrm{A}_{1}=\left\{(x, y):|x| \leqslant y^{2},|x|+2 y \leqslant 8\right\}$$ तथा

$$\mathrm{A}_{2}=\{(x, y):|x|+|y| \leqslant \mathrm{k}\}$$ हैं। यदि 27 ( क्षेत्रफल $$\left.\mathrm{A}_{1}\right)=5$$ ( क्षेत्रफल $$\mathrm{A}_{2}$$ ) है, तो $$\mathrm{k}$$ बराबर है ______________ |

एक आयत $$\mathrm{R}$$, जिसकी एक भुजा के सिरे $$(1,2)$$ तथा $$(3,6)$$ हैं, एक वृत्त के अंतर्गत है। यदि वृत्त के एक व्यास का समीकरण $$2 x-y+4=0$$ है, तो $$\mathrm{R}$$ का क्षेत्रफल है _______________ |