माना $$x * y=x^{2}+y^{3}$$ तथा $$(x * 1) * 1=x *(1 * 1)$$ हैं ।

तो $$2 \sin ^{-1}\left(\frac{x^{4}+x^{2}-2}{x^{4}+x^{2}+2}\right)$$ का एक मान है -

समीकरण $$\left(e^{2 x}-4\right)\left(6 e^{2 x}-5 e^{x}+1\right)=0$$ के सभी वास्तविक मूलों का योग है -

माना रैखिक समीकरण निकाय

$$x+y+\alpha z=2$$

$$3 x+y+z=4$$

$$x+2 z=1$$

का केवल एक हल $$\left(x^{*}, y^{*}, z^{*}\right)$$ है । यदि $$\left(\alpha, x^{*}\right),\left(y^{*}, \alpha\right)$$ तथा $$\left(x^{*},-y^{*}\right)$$ संरेख हैं, तो $$\alpha$$ के सभी संभव मानों के निरपेक्ष मानों का योगफल है -

माना $$x, y>0$$ हैं । यदि $$x^{3} y^{2}=2^{15}$$ है, तो $$3 x+2 y$$ का न्यूनतम मान है -

माना $$f(x)= \begin{cases}\frac{\sin (x-[x])}{x-[x]} & , x \in(-2,-1) \\ \max \{2 x, 3[|x|]\} & ,|x|<1 \\ 1 & , \text { otherwise }\end{cases} $$

जहाँ $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है । यदि $$m$$ उन बिंदुओं की संख्या है, जहाँ $$f$$ संतत नहीं है, तथा $$n$$ उन बिन्दुओं की संख्या है, जहाँ $$f$$ अवकलनीय नहीं है, तो क्रमित युग्म $$(m, n)$$ है :

समाकलन $$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d x}{\left(1+e^{x}\right)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)}$$ का मान बराबर है

xy- समतल में एक कण, बिंदु (3, 3) से होकर जाने वाले एक वक्र C के अनुदिश चल रहा है । माना वक्र C के बिंदु P पर स्पर्श रेखा, x-अक्ष को बिंदु Q पर मिलती है । यदि रेखाखण्ड PQ को y-अक्ष समद्विभाजित करता है, तो C एक परवलय है जिसकी

माना दीघर्वृत्त $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1, a>2$$ के अंतर्गत त्रिभुज, जिसका एक शीर्ष दीर्घवृत्त के दीर्घअक्ष के एक सिरे पर है तथा जिसकी एक भुजा y-अक्ष के समांतर है, का अधिकतम क्षेत्रफल $$6 \sqrt{3}$$ है। तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता है:

माना शीर्ष $$A(1, \alpha), B(\alpha, 0)$$ तथा $$C(0, \alpha)$$ के त्रिभुज का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है । यदि बिंदु $$(\alpha,-\alpha),(-\alpha, \alpha)$$ तथा $$\left(\alpha^{2}, \beta\right)$$ संरेख हैं, तो $$\beta$$ बराबर है:

समीकरण $$x^{7}-7 x-2=0$$ के भित्र वास्तविक मूलों की संख्या है:

एक याहच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन निम्न है:

X	0	1	2	3	4
P(X)	k	2k	4k	6k	8k

P(1 < X < 4 | X $$\le$$ 2) का मान बराबर है:

यदि रेखाओं $$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{\lambda}$$ तथा $$\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$$ के बीच न्यूनतम दूरी $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ है, तो $$\lambda$$ के सभी संभव मानों का योगफल है:

माना दो इकाई सदिशों $$\hat{a}$$ तथा $$\hat{b}$$ के लिए $$|(\hat{a}+\hat{b})+2(\hat{a} \times \hat{b})|=2$$ है। यदि $$\hat{a}$$ तथा $$\hat{b}$$ के बीच का कोण $$\theta \in(0, \pi)$$ है, तो कथनों

(S1): $$2|\hat{\mathrm{a}} \times \hat{\mathrm{b}}|=|\hat{\mathrm{a}}-\hat{\mathrm{b}}|$$

(S2): $$\hat{\mathrm{a}}$$ का $$(\hat{\mathrm{a}}+\hat{\mathrm{b}})$$ पर प्रक्षेप $$\frac{1}{2}$$ है

में

यदि $$y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\sec {x^3} - \tan {x^3}} \right),\,{\pi \over 2} < {x^3} < {{3\pi } \over 2}$$, है, तो

माना $$\lambda^{*}$$ का अधिकतम मान, जिसके लिए फलन $$f_{\lambda}(x)=4 \lambda x^{3}-36 \lambda x^{2}+36 x+48$$ सभी $$x \in \mathbb{R}$$ के लिए वर्धमान है, $$\lambda^{*}$$ है। तो $$f_{\lambda^{*}}(1)+f_{\lambda^{*}}(-1)$$ बराबर है:

माना $$S=\{z \in \mathbb{C}:|z-3| \leq 1$$ तथा $$z(4+3 i)+\bar{z}(4-3 i) \leq 24\}$$ हैं। यदि S में 4i के निकटतम बिंदु $$\alpha+i \beta$$ है, तो $$25(\alpha+\beta)$$ बराबर है _______________ |

माना $$S = \left\{ {\left( {\matrix{ { - 1} & a \cr 0 & b \cr } } \right):a,b \in \{ 1,2,3,\,\,....\,\,100\} } \right\}$$ तथा $${T_n} = \{ A \in S:{A^{n(n + 1)}} = I\} $$ है | तो $$\bigcap\limits_{n = 1}^{100} {{T_n}} $$ में अवयवों की संख्या है __________.

सभी अंकों $$1,2,3,4,5,7$$ तथा 9 के प्रयोग से बनने वाली 7-अंकीय संख्याओं, जो 11 की गुणज हैं की संख्या है ___________ |

समुच्चय $$\{\alpha \in\{1,2, \ldots ., 100\}: \operatorname{HCF}(\alpha, 24)=1$$ है $$\}$$ के सभी अवयवों का योगफल है ___________ |

$$1+3+3^{2}+3^{3}+\ldots .+3^{2021}$$ को 50 से विभाजित करने पर शेषफल है ___________ |

परवलय $$y^{2}=2 x$$ तथा रेखा $$x+y=4$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाईयों में) है ___________ |

माना एक वृत्त $$C:(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}, k>0, x$$-अक्ष को $$(1,0)$$ पर स्पर्श करता है । यदि रेखा $$x+y=0$$ वृत्त C को बिंदुओं P तथा Q पर काटती है तथा जीवा PQ की लंबाई 2 है, तो $$h+k+r$$ का मान बराबर है ____________ |

माना अतिपरवलय $$H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई, दीर्घवृत्त $$E: 3 x^{2}+4 y^{2}=12$$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई के बराबर है । यदि H तथा E की उत्केन्द्रताएँ क्रमशः $$e_{H}$$ तथा $$e_{E}$$ है, तो $$12\left(e_{H}^{2}+e_{E}^{2}\right)$$ का मान बराबर है _____________ |

माना $$P_{1}$$ एक परवलय है जिसका शीर्ष $$(3,2)$$ है तथा नाभि $$(4,4)$$ है, तथा रेखा $$x+2 y=6$$ के सापेक्ष $$\mathrm{P}_{1}$$ का दर्पण प्रतिबिंब $$\mathrm{P}_{2}$$ है । तो $$\mathrm{P}_{2}$$ की नियता $$x+2 y=$$ ___________ है ।