यदि y = y(x) विभेदक समीकरण

$${{dy} \over {dx}}$$ + (tan x) y = sin x, $$0 \le x \le {\pi \over 3}$$, का समाधान है, जहाँ y(0) = 0, तो $$y\left( {{\pi \over 4}} \right)$$ का मान होता है:

माना f एक वास्तविक मानवय फ़ंक्शन है, जो R $$-$$ {$$-$$1, 1} पर परिभाषित है और दिया गया है

f(x) = 3 log_e $$\left| {{{x - 1} \over {x + 1}}} \right| - {2 \over {x - 1}}$$.

तो निम्न में से किस अंतराल में, फ़ंक्शन f(x) बढ़ रहा है?

माना $$\overrightarrow a $$ = $$\widehat i$$ + 2$$\widehat j$$ $$-$$ 3$$\widehat k$$ और $$\overrightarrow b = 2\widehat i$$ $$-$$ 3$$\widehat j$$ + 5$$\widehat k$$। यदि $$\overrightarrow r $$ $$\times$$ $$\overrightarrow a $$ = $$\overrightarrow b $$ $$\times$$ $$\overrightarrow r $$,

$$\overrightarrow r $$ . $$\left( {\alpha \widehat i + 2\widehat j + \widehat k} \right)$$ = 3 और $$\overrightarrow r \,.\,\left( {2\widehat i + 5\widehat j - \alpha \widehat k} \right)$$ = $$-$$1, $$\alpha$$ $$\in$$ R, तो

$$\alpha$$ + $${\left| {\overrightarrow r } \right|^2}$$ का मान है :

यदि बिंदु (4, 3, 8) से रेखा $${L_1}:{{x - a} \over l} = {{y - 2} \over 3} = {{z - b} \over 4}$$ पर खींचे गए लम्ब का पाद (3, 5, 7) है, तो l $$\ne$$ 0 है, फिर रेखा L₁ और रेखा $${L_2}:{{x - 2} \over 3} = {{y - 4} \over 4} = {{z - 5} \over 5}$$ के बीच की न्यूनतम दूरी बराबर है:

एक आयत ABCD पर विचार करें, जिसमें AB, CD, BC, DA रेखा खंडों के अंदर क्रमशः 5, 7, 6, 9 बिंदु हैं। $$\alpha$$ को इन बिंदुओं से विभिन्न भुजाओं के शीर्ष बिंदुओं वाले त्रिकोणों की संख्या मानें और $$\beta$$ को इन बिंदुओं से विभिन्न भुजाओं के शीर्ष बिंदुओं वाले चतुर्भुजों की संख्या मानें। तब ($$\beta$$ $$-$$ $$\alpha$$) का मान है:

यदि f : S $$ \to $$ S जहाँ S = (0, $$\infty $$) दो बार अवकलनीय फंक्शन है जिसके लिए f(x + 1) = xf(x) है। अगर g : S $$ \to $$ R को g(x) = log_e f(x) के रूप में परिभाषित किया गया है, तो |g''(5) $$-$$ g''(1)| का मान कितना है:

निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें
$$I = \int_0^{10} {{{[x]{e^{[x]}}} \over {{e^{x - 1}}}}dx} $$,
जहाँ [x] का अर्थ है x से कम या उसके बराबर की सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या। तब I का मान कितना होगा:

चलो C₁ वक्र समीकरण के समाधान द्वारा प्राप्त वक्र हो

$$2xy{{dy} \over {dx}} = {y^2} - {x^2},x > 0$$। चलो वक्र C₂

समीकरण $${{2xy} \over {{x^2} - {y^2}}} = {{dy} \over {dx}}$$ के समाधान द्वारा प्राप्त हो। यदि दोनों वक्र (1, 1) से होकर जाते हैं, तो वक्र C₁ और C₂ द्वारा घिरा क्षेत्रफल के बराबर है :

माना P(x) = x² + bx + c एक वास्तविक गुणांकों वाला द्विघातीय बहुपद है जिसके लिए $$\int_0^1 {P(x)dx} $$ = 1 है और P(x) को (x $$-$$ 2) से विभाजित करने पर शेषफल 5 होता है। फिर 9(b + c) का मान समान है :

माना A = {2, 3, 4, 5, ....., 30} और '$$ \simeq $$' A $$\times$$ A पर एक समतुल्यता संबंध है, जिसे (a, b) $$ \simeq $$ (c, d) से परिभाषित किया गया है, यदि और केवल यदि ad = bc। फिर इस समतुल्यता संबंध को संतुष्ट करने वाले युग्मों की संख्या (4, 3) के युग्म के साथ बराबर होगी:

|z| का कम से कम मान जहां z एक जटिल संख्या है जो समीकरण $$\exp \left( {{{(|z| + 3)(|z| - 1)} \over {||z| + 1|}}{{\log }_e}2} \right) \ge {\log _{\sqrt 2 }}|5\sqrt 7 + 9i|,i = \sqrt { - 1} $$ को संतुष्ट करती है, कितना है:

यदि $$\alpha$$ $$\in$$ R ऐसा हो कि फ़ंक्शन $$f(x) = \left\{ {\matrix{ {{{{{\cos }^{ - 1}}(1 - {{\{ x\} }^2}){{\sin }^{ - 1}}(1 - \{ x\} )} \over {\{ x\} - {{\{ x\} }^3}}},} & {x \ne 0} \cr {\alpha ,} & {x = 0} \cr } } \right.$$ x = 0 पर निरंतर हो, जहाँ {x} = x $$-$$ [ x ] x से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। तब :

दिया गया है कि विपरीत त्रिकोणमितीय फंक्शन केवल मुख्य मान लेते हैं। तब, x के वास्तविक मानों की संख्या जो

$${\sin ^{ - 1}}\left( {{{3x} \over 5}} \right) + {\sin ^{ - 1}}\left( {{{4x} \over 5}} \right) = {\sin ^{ - 1}}x$$ को संतुष्ट करते हैं, के बराबर है :

माना वृत्त
x² + y² + ax + 2ay + c = 0, (a < 0) द्वारा x-अक्ष और y-अक्ष पर बने अंतरालों की लंबाई क्रमशः 2$${\sqrt 2 }$$ और 2$${\sqrt 5 }$$ है। तब वृत्त के एक स्पर्शरेखा से मूल बिंदु की न्यूनतम दूरी, जो रेखा x + 2y = 0 के लंबवत है, __________ है।

A($$-$$1, 1), B(3, 4) और C(2, 0) तीन दिए गए बिंदु होने दें।
रेखा y = mx, m > 0, AC और BC की रेखाओं को क्रमशः बिंदु P और Q पर पार करती है। A₁ और A₂ क्रमशः $$\Delta$$ABC और $$\Delta$$PQC के क्षेत्रफल होने दें, ऐसा है कि A₁ = 3A₂, तो m का मान कितना है:

माना A वह घटना है जिसमें 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 द्वारा बिना दोहराव के बनाए गए 6-अंकीय पूर्णांक, 3 से विभाजित हो। तब घटना A की संभावना के बराबर है :

$$f(x) = \left| {\matrix{ {{{\sin }^2}x} & {1 + {{\cos }^2}x} & {\cos 2x} \cr {1 + {{\sin }^2}x} & {{{\cos }^2}x} & {\cos 2x} \cr {{{\sin }^2}x} & {{{\cos }^2}x} & {\sin 2x} \cr } } \right|,x \in R$$ का अधिकतम मूल्य है :

माना $${1 \over {16}}$$, a और b ज्यामितीय शृंखला (G.P.) में हैं और $${1 \over a}$$, $${1 \over b}$$, 6 सामान्य अंतरशृंखला (A.P.) में हैं, जहाँ a, b > 0। तब 72(a + b) का मान _________ के बराबर है।

वास्तविक संख्याओं $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$ और $$\delta $$ के लिए, यदि
$$\int {{{({x^2} - 1) + {{\tan }^{ - 1}}\left( {{{{x^2} + 1} \over x}} \right)} \over {({x^4} + 3{x^2} + 1){{\tan }^{ - 1}}\left( {{{{x^2} + 1} \over x}} \right)}}dx} $$

$$ = \alpha {\log _e}\left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {{{{x^2} + 1} \over x}} \right)} \right) + \beta {\tan ^{ - 1}}\left( {{{\gamma ({x^2} + 1)} \over x}} \right) + \delta {\tan ^{ - 1}}\left( {{{{x^2} + 1} \over x}} \right) + C$$

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है, तो 10($$\alpha$$ + $$\beta$$$$\gamma$$ + $$\delta$$) का मूल्य ______________ के बराबर है।

माना f : R $$ \to $$ R और g : R $$ \to $$ R को निम्न प्रकार से परिभाषित किया गया है:

$$f(x) = \left\{ {\matrix{ {x + a,} & {x < 0} \cr {|x - 1|,} & {x \ge 0} \cr } } \right.$$ और

$$g(x) = \left\{ {\matrix{ {x + 1,} & {x < 0} \cr {{{(x - 1)}^2} + b,} & {x \ge 0} \cr } } \right.$$,

जहाँ a, b गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं. यदि (gof) (x) सभी x $$\in$$ R के लिए निरंतर है, तो a + b के बराबर है ____________.

निम्नलिखित के रूप में दो अवलोकन सेटों के आंकड़े पर विचार करें :

	आकार	औसत	विविधता
अवलोकन I	10	2	2
अवलोकन II	n	3	1

अगर इन दोनों अवलोकनों के संयुक्त सेट की विविधता $${{17} \over 9}$$ है, तो n का मान ___________ के बराबर है।

यदि $$A = \left[ {\matrix{ {{a_1}} \cr {{a_2}} \cr } } \right]$$ और $$B = \left[ {\matrix{ {{b_1}} \cr {{b_2}} \cr } } \right]$$ दो 2 $$\times$$ 1 मैट्रिक्स होते हैं जिनके वास्तविक प्रविष्टियां हैं ऐसे कि A = XB, जहाँ

$$X = {1 \over {\sqrt 3 }}\left[ {\matrix{ 1 & { - 1} \cr 1 & k \cr } } \right]$$, और k$$\in$$R.

यदि $$a_1^2$$ + $$a_2^2$$ = $${2 \over 3}$$(b$$_1^2$$ + b$$_2^2$$) और (k² + 1) b$$_2^2$$ $$\ne$$ $$-$$2b₁b₂, तो k का मान __________ है।