$$2000$$ तथा $$5000$$ के बीच उन संख्याओं की संख्या जो अंकों $$0,1,2,3,4$$ से बनाई जा सकती हैं (अंकों का दोबारा लिया जाना वर्जित है) तथा जो $$3$$ के गुणज हैं, है :

यदि $$\int \frac{\tan x}{1+\tan x+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x=x-\frac{\mathrm{K}}{\sqrt{\mathrm{A}}} \tan ^{-1}\left(\frac{\mathrm{K} \tan x+1}{\sqrt{\mathrm{A}}}\right)+\mathrm{C}$$ ( जहाँ $$\mathrm{C}$$ एक समाकलन अचर है ), तो क्रमित युग्म ($$\mathrm{K}, \mathrm{A}$$) बराबर है :

माना फलन $$f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x+5$$ के $$\mathrm{M}$$ तथा $$\mathrm{m}$$ क्रमशः निरपेक्ष अधिकतम तथा निरपेक्ष न्यूनतम मान, अंतराल $$[0,3]$$ में हैं, तो $$\mathrm{M}-\mathrm{m}$$ बराबर है :

यदि $$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{\mathrm{k}-1}{\mathrm{e}^{2 x}-1}, x \neq 0$$, द्वारा परिभाषित फलन $$f, x=0$$ पर संतत है, तो क्रमित युग्म $$(\mathrm{k}, f(0))$$ बराबर है :

यदि $$x=\sqrt{2^{\operatorname{cosec}^{-1} t}}$$ तथा $$y=\sqrt{2^{\sec ^{-1} t}}, \left(|t| \geqslant 1\right.$$ है ) तो $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$$ बराबर है :

$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{(27+x)^{\frac{1}{3}}-3}{9-(27+x)^{\frac{2}{3}}}$$ बराबर है :

माना $$\frac{1}{x_{1}}, \frac{1}{x_{2}}, \ldots, \frac{1}{x_{\mathrm{n}}}(i=1,2, \ldots, \mathrm{n}$$ के लिए $$x_{i} \neq 0$$ है) समांतर श्रेढ़ी में ऐसे हैं कि $$x_{1}=4$$ तथा $$x_{21}=20$$ है। यदि $$\mathrm{n}$$ का न्यूनतम धनपूर्णांक मान जिसके लिए $$x_{\mathrm{n}}>50$$ है, तो $$\sum\limits_{i=1}^{\mathrm{n}}\left(\frac{1}{x_{i}}\right)$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$$ तथा $$\mathrm{B}=\mathrm{A}^{20}$$ है, तो $$\mathrm{B}$$ के प्रथम स्तंभ के अवयवों का योगफल है :

$$\mathrm{k}$$ के उन मानों की संख्या जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय

$$(\mathrm{k}+2) x+10 y=\mathrm{k}$$

$$\mathrm{k} x+(\mathrm{k}+3) y=\mathrm{k}-1$$

का कोई हल नहीं है, है :

यदि $$f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{t}(\sin x-\sin t) \mathrm{dt}$$ है, तो :

माना $$\mathrm{p}, \mathrm{q}$$ तथा $$\mathrm{r},(\mathrm{p} \neq \mathrm{q}, \mathrm{r} \neq 0)$$, वास्तविक संख्याएँ ऐसी हैं कि समीकरण $$\frac{1}{x+\mathrm{p}}+\frac{1}{x+\mathrm{q}}=\frac{1}{\mathrm{r}}$$ के मूल बराबर तथा विपरीत चिन्हों के हैं, तो इन मूलों के वर्गों का योगफल बराबर है :

$$\mathrm{n}$$ का वह न्यूनतम धनपूर्णांक मान जिसके लिए $$\left(\frac{1+i \sqrt{3}}{1-i \sqrt{3}}\right)^{\mathrm{n}}=1$$, है :

माना $$\mathbf{N}$$ सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। $$\mathbf{N}$$ पर दो द्विआधारी संबंध इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि

$$\mathrm{R}_{1}=\{(x, y) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}: 2 x+y=10\}$$ तथा $$\mathrm{R}_{2}=\{(x, y) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}: x+2 y=10\}$$, तो :

दो विभिन्न परिवारों $$\mathrm{A}$$ और $$\mathrm{B}$$ के एक-समान बच्चे हैं। इन परिवारों के बच्चों के बीच $$3$$ टिकट इस प्रकार बाँटे जाने हैं कि किसी भी बच्चे को एक से अधिक टिकट न मिले। यदि सभी टिकट परिवार $$\mathrm{B}$$ के बच्चों को मिलने की प्रायिकता $$\frac{1}{12}$$ है, तो प्रत्येक परिवार में बच्चों की संख्या है :

यदि $$\triangle \mathrm{ABC}$$ का एक कोण $$\mathrm{A}, 5 \cos \mathrm{A}+3=0$$ को संतुष्ट करता है तो द्विघाती समीकरण $$9 x^{2}+27 x+20=0$$ के मूल हैं :

पाँच प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 9 तथा 0 हैं। यदि उनमें से एक प्रेक्षण इस प्रकार बदला जाए कि नया माध्य 10 हो जाए, तो उनका मानक विचलन है :

माना $$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ तीन घटनाएँ ऐसी हैं कि उनका प्रत्येक युग्म स्वतंत्र है तथा $$\overline{\mathrm{E}}$$, घटना $$\mathrm{E}$$ की पूरक घटना है। यदि $$\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C})=0$$ तथा $$\mathrm{P}(\mathrm{C}) > 0$$ है, तो $$\mathrm{P}[(\overline{\mathrm{A}} \cap \overline{\mathrm{B}}) \mid \mathrm{C}]$$ बराबर है :

माना सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{c}}=\hat{j}-\hat{k}$$ तथा एक सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{b}}$$ ऐसा है $$\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=3$$ है, तो $$|\vec{b}|$$ बराबर है :

यदि रेखाओं $$\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$$ तथा $$\frac{5-x}{-2}=\frac{7 y-14}{p}=\frac{z-3}{4}$$ के बीच का कोण $$\cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$$ है, तो $$p$$ बराबर है :

यदि एक दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $$4$$ इकाई हैं तथा एक नाभि तथा दीर्घ अक्ष पर स्थित निकटतम शीर्ष के बीच की दूरी $$\frac{3}{2}$$ इकाई है, तो उसकी उत्केन्द्रता है :

रेखाओं $$\sqrt{2} x-y+4 \sqrt{2} \mathrm{k}=0$$ तथा $$\sqrt{2} \mathrm{k} x+\mathrm{k} y-4 \sqrt{2}=0$$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदु-पथ ( जब $$\mathrm{k}$$ एक शून्येतर वास्तविक प्राचल (parameter)) है, है :

यदि एक वृत्त $$C$$, जिसकी त्रिज्या $$3$$ है, एक अन्य वृत्त $$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-4=0$$ को बाह्य रूप से बिंदु $$(2,2)$$ पर स्पर्श करता है, तो वृत्त $$\mathrm{C}$$ द्वारा $$x$$-अक्ष पर काटे गए अंतःखंड की लंबाई है :

वक्रों $$y=x^{2}, y=\frac{1}{x}$$ तथा रेखाओं $$y=0$$ तथा $$x=\mathrm{t}(\mathrm{t}>1)$$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $$1$$ वर्ग इकाई है, तो $$t$$ बराबर है :