यदि $$\mathrm{a, b, c}$$ एक समांतर श्रेढ़ी में हैं तथा $$\mathrm{a^{2}, b^{2}, c^{2}}$$ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं, जबकि $$\mathrm{a} < \mathrm{b} < \mathrm{c}$$ तथा $$\mathrm{a} + \mathrm{b}+\mathrm{c}=\frac{3}{4}$$ है, तो $$\mathrm{a}$$ का मान है :

यदि $$|z-3+2 i| \leq 4$$ है, तो $$|z|$$ के अधिकतम तथा न्यूनतम मानों का अंतर है :

यदि निम्न रैखिक समीकरण निकाय

$$ \begin{aligned} &x+\mathrm{a} y+z=3 \\ &x+2 y+2 z=6 \\ &x+5 y+3 z=\mathrm{b} \end{aligned} $$

का कोई हल नहीं है, तो :

शब्द $$\mathrm{BARRACK}$$ के अक्षरों का प्रयोग करके बनाए जा सकने वाले चार अक्षरों के सभी शब्दों की संख्या है :

माना कि $$\mathrm{A}$$ कोई $$3 \times 3$$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है जिसके लिए $$(\mathrm{A}-3 \mathrm{I})(\mathrm{A}-5 \mathrm{I})=\mathrm{O}$$, जहाँ $$\mathrm{I}=\mathrm{I}_{3}$$ तथा $$\mathrm{O}=\mathrm{O}_{3}$$ है। यदि $$\alpha \mathrm{A}+\beta \mathrm{A}^{-1}=4 \mathrm{I}$$ है, तो $$\alpha+\beta$$ बराबर है :

यदि $$\mathrm{A}=\mathrm{R}-\{2\}, \mathrm{B}=\mathrm{R}-\{1\}$$ हैं तथा फलन $$f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} ; f(x)=\frac{x-1}{x-2}$$ द्वारा परिभाषित है, तो $$f$$ :

यदि $$f(x)$$ एक द्विघात व्यंजक है, जिसके लिये $$f(1)+f(2)=0$$ तथा $$f(x)=0$$ का एक मूल $$-1$$, है, तो $$f(x)=0$$ का दूसरा मूल है :

यदि एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ के शीर्षों $$\mathrm{A}, \mathrm{B}$$ तथा $$\mathrm{C}$$ के स्थानीय सदिश क्रमशः $$4 \hat{i}+7 \hat{j}+8 \hat{k}$$, $$2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$$ तथा $$2 \hat{i}+5 \hat{j}+7 \hat{k}$$ हैं, तो उस बिन्दु, जहाँ $$\angle \mathrm{A}$$ का समद्विभाजक $$\mathrm{BC}$$ पर मिलता है, का स्थानीय सदिश है :

यदि आँकड़ों $$7,8,9,7,8,7, \lambda, 8$$ का माध्य $$8$$ है, तो इन आँकड़ों का प्रसरण है :

एक खिलाड़ी $$\mathrm{X}$$ के पास एक अभिनत सिक्का है जिसकी चित्त (Heads) दर्शाने की प्रायिकता '$$\mathrm{p}$$' है तथा खिलाड़ी $$\mathrm{Y}$$ के पास एक अनभिनत सिक्का है। वह अपने अपने सिक्कों द्वारा एक खेल शुरू करते हैं जिसमें उन्हें बारी बारी से खेलना है। वह खिलाड़ी जो पहले चित्त फेंकता हैं, विजेता माना जाता है। यदि $$\mathrm{X}$$, खेल शुरू करता है तथा दोनों के जीतने की प्रायिकताएँ समान हैं, तो '$$\mathrm{p}$$' का मान है :

रेखाओं, जिनकी दिक् कोज्याएँ समीकरणों $$l+3 \mathrm{~m}+5 \mathrm{n}=0$$ तथा $$5 l \mathrm{~m}-2 \mathrm{mn}+6 \mathrm{n} l=0$$ द्वारा प्रदत्त हैं, के बीच का एक कोण है :

बिन्दु $$(-8,0)$$ से परवलय, $$y^{2}=8 x$$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परवलय को $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ पर स्पर्श करती हैं। यदि $$\mathrm{F}$$ इस परवलय की नाभि है, तो $$\triangle \mathrm{PFQ}$$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) बराबर है :

मूल बिन्दु से रेखा, $$3 x+y=\lambda(\lambda \neq 0)$$ पर डाले गए लम्ब का पाद $$\mathrm{P}$$ है। यदि यह रेखा $$x$$-अक्ष को $$\mathrm{A}$$ तथा $$y$$-अक्ष को $$\mathrm{B}$$ पर काटती है, तो अनुपात $$\mathrm{B P: P A}$$ है :

एक समचतुर्भुज $$\mathrm{ABCD}$$ ऐसा है जिसकी भुजायें रेखाओं $$x-y+2=0$$ तथा $$7 x-y+3=0$$ के समांतर हैं। यदि इस समचतुर्भुज के विकर्ण बिन्दु $$\mathrm{P}(1,2)$$ पर काटते हैं तथा एक शीर्ष $$\mathrm{A}(\mathrm{A} \neq \mathrm{O}$$, मूल बिन्दु $$)$$ $$y$$-अक्ष पर है, तो $$\mathrm{A}$$ की कोटि (ordinate) है :

वह वक्र जो अवकल समीकरण $$\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y=0$$ को संतुष्ट करता है तथा बिन्दु $$(1,1)$$ से होकर जाता है, है :

यदि $$\int \frac{2 x+5}{\sqrt{7-6 x-x^{2}}} \mathrm{~d} x=\mathrm{A} \sqrt{7-6 x-x^{2}}+ B \sin ^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right)+\mathrm{C}$$

( जहाँ $$\mathrm{C}$$ एक समाकलन अचर है), तो क्रमित युग्म (A, B) बराबर है :

यदि $$\mathrm{I}_{1}=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$$, $$ \mathrm{I}_{2}=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$$ तथा $$\mathrm{I}_{3}=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{3}} \mathrm{~d} x$$ है, तो :

समाकल $$\int\limits_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \frac{x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$$ का मान है :

माना $$f(x)$$ घात $$4$$ का एक बहुपद है जिसके $$x=1$$ तथा $$x=2$$ पर दो चरम मान (Extreme Values) हैं। यदि $$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{x^{2}}+1\right)=3$$, तो $$f(-1)$$ बराबर है :

यदि $$f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 \times 3^{x}}{1+9^{x}}\right)$$ है, तो $$f^{\prime}\left(-\frac{1}{2}\right)$$ बराबर है :

माना, $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(x-1)^{\frac{1}{2-x}} & , x>1, x \neq 2 \\ \mathrm{k} & , x=2\end{array}\right.$$ है। तो $$\mathrm{k}$$ का वह मूल्य, जिसके लिये $$f, x=2$$ पर संतत है, है :

$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \tan 2 x-2 x \tan x}{(1-\cos 2 x)^{2}}$$ बराबर है :