वक्र $x(1+y^2)=1$ और $y^2=2x$ द्वारा सीमित क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

थैला $B_1$ में 6 सफेद और 4 नीले गेंद हैं, थैला $B_2$ में 4 सफेद और 6 नीले गेंद हैं, और थैला $B_3$ में 5 सफेद और 5 नीले गेंद हैं। तीनों में से एक थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उससे एक गेंद निकाली जाती है। यदि गेंद सफेद है तो गेंद के $B_2$ से निकाले जाने की प्रायिकता है:

यदि $\mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ एक द्वि-आवकलनीय फलन है जिसमें $f(2)=1$. यदि $\mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{x} f(\mathrm{x})$ सभी $\mathrm{x} \in \mathrm{R}$ के लिए, $\int\limits_0^2 x F^{\prime}(x) d x=6$ और $\int\limits_0^2 x^2 F^{\prime \prime}(x) d x=40$, तो $F^{\prime}(2)+\int\limits_0^2 F(x) d x$ के बराबर है :

If the midpoint of a chord of the ellipse $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ is $(\sqrt{2}, 4 / 3)$, and the length of the chord is $\frac{2 \sqrt{\alpha}}{3}$, then $\alpha$ is :

दिशा में बिंदु $ \left( \frac{15}{7}, \frac{32}{7}, 7 \right) $ की रेखा $ \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z + 5}{7} $ से दूरी का वर्ग जिस दिशा में सदिश $ \hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k} $ है:

एक समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान भुजाएँ $ -x + 2y = 4 $ और $ x + y = 4 $ के साथ हैं। यदि $ m $ इसके तीसरे पक्ष की ढाल है, तो $ m $ के सभी संभावित भिन्न मानों का योग है:

मान लीजिए $(a + b)^{12}$ के द्विपद विस्तार में तीन क्रमिक पदों $T_r$, $T_{r+1}$ और $T_{r+2}$ के गुणांक एक गुणोत्तर श्रृंखला में हैं और $p$ ऐसे $r$ के सभी संभावित मानों की संख्या है। $q$ उन सभी परिमेय पदों का योग है जो $(\sqrt[4]{3}+\sqrt[3]{4})^{12}$ के द्विपद विस्तार में हैं। तो $p + q$ के बराबर है:

यदि $\vec{a}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}$ का $\vec{b}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ के साथ समानांतर और लंबवत अवयव क्रमशः $\frac{16}{11}(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$ और $\frac{1}{11}(-4 \hat{i}-5 \hat{j}-17 \hat{k})$ हैं, तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ के बराबर है :

मान लीजिए $f: \mathbf{R}-\{0\} \rightarrow(-\infty, 1)$ एक द्विघात बहुपद है, जो संतुष्ट करता है $f(x) f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$। यदि $f(\mathrm{~K})=-2 \mathrm{~K}$ है, तो K के सभी संभावित मूल्यों के वर्गों का योग है:

[x] को x से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक मानते हैं। तो $ f(x) = \sec^{-1}(2[x] + 1) $ का परिभाषा क्षेत्र है:

मान लीजिए कि S उन सभी शब्दों का सेट है जो GARDEN शब्द के सभी अक्षरों की व्यवस्था करके बनाए जा सकते हैं। सेट S में से, एक शब्द यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बात की संभावना क्या है कि चुने गए शब्द में स्वर वर्णमाला क्रम में नहीं होंगे?

यदि A और B, वृत्त $x^2 + y^2 - 8x = 0$ और हाइपरबोला $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ के प्रतिच्छेद बिंदु हैं और बिंदु P रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ पर चलता है, तो $\Delta PAB$ का केंद्र जिस रेखा पर स्थित होता है, वह है:

Let $A, B, C$ be three points in xy-plane, whose position vector are given by $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+\sqrt{3} \hat{j}$ and $a \hat{i}+(1-a) \hat{j}$ respectively with respect to the origin O . If the distance of the point C from the line bisecting the angle between the vectors $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ and $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ is $\frac{9}{\sqrt{2}}$, then the sum of all the possible values of $a$ is :

यदि $\alpha + i\beta$ और $\gamma + i\delta$ समीकरण $x^2 - (3 - 2i)x - (2i - 2) = 0$, $i = \sqrt{-1}$ की मूल हैं, तो $\alpha \gamma + \beta \delta$ कितना है:

If $\sum\limits_{r=1}^{13}\left\{\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4}+(r-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{r \pi}{6}\right)}\right\}=a \sqrt{3}+b, a, b \in Z$, then $a^2+b^2$ is equal to :

यदि $f(x)=\int \frac{1}{x^{1 / 4}\left(1+x^{1 / 4}\right)} \mathrm{d} x, f(0)=-6$, तो $f(1)$ का मान होगा:

मान लें $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ और $\mathrm{P}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right], \theta>0$. यदि $\mathrm{B}=\mathrm{PAP}{ }^{\top}, \mathrm{C}=\mathrm{P}^{\top} \mathrm{B}^{10} \mathrm{P}$ और $C$ के विकर्ण तत्त्वों का योग $\frac{m}{n}$ है, जहां $\operatorname{gcd}(m, n)=1$, तो $m+n$ होगा:

मान लें कि $f$ एक वास्तविक मान वाली निरंतर फलन है जो सकारात्मक वास्तविक धुरी पर परिभाषित है ऐसा कि $g(x)=\int\limits_0^x t f(t) d t$. यदि $g\left(x^3\right)=x^6+x^7$, तो $\sum\limits_{r=1}^{15} f\left(r^3\right)$ का मान होगा:

मान लें $f:[0,3] \rightarrow$ A को परिभाषित किया गया है $f(x)=2 x^3-15 x^2+36 x+7$ द्वारा और $g:[0, \infty) \rightarrow B$ को परिभाषित किया गया है $g(x)=\frac{x^{2025}}{x^{2025}+1}$ द्वारा, यदि दोनों फलन onto हैं और $S=\{ x \in Z ; x \in A$ या $x \in B \}$, तो $n(S)$ का मान होगा:

धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, यदि $4 a_n=\left(n^2+5 n+6\right)$ और $S_n=\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{a_k}\right)$, तो $507 S_{2025}$ का मान होगा:

यदि $f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{r=0}^n\left(\frac{\tan \left(x / 2^{r+1}\right)+\tan ^3\left(x / 2^{r+1}\right)}{1-\tan ^2\left(x / 2^{r+1}\right)}\right)$ हो, तब $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{f(x)}}{(x-f(x))}$ का मान ___________ है।

मान लीजिए $A$ और $B$ वे दो बिंदु हैं जहां रेखा $y+5=0$ और परवलय $y^2=4 x$ की रेखा $x+y+4=0$ के प्रतिबिंब का प्रतिच्छेदन होता है। यदि $d$ $A$ और $B$ के बीच की दूरी को दर्शाता है, और $a$ $\triangle S A B$ का क्षेत्रफल है, जहाँ $S$ परवलय $y^2=4 x$ का फोकस है, तब $(a+d)$ का मान __________ है।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण का हल है, $\sqrt{4-x^2} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\left(\left(\sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right)^2-y\right) \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right),-2 \leq x \leq 2, y(2)=\frac{\pi^2-8}{4}$, तब $y^2(0)$ का मान ___________ है।

एक बहुभुज के आंतरिक कोण, जिसमें n भुजाएँ हैं, एक समानांतर श्रेणी में हैं, जिसकी समान अंतर 6° है। यदि बहुभुज का सबसे बड़ा आंतरिक कोण 219° है, तो n का मान _______ है।

212 और 999 के बीच के प्रकृतिक संख्याओं की संख्या, ऐसी कि उनके अंकों का योग 15 हो, _______ है।