शब्द "INDEPENDENCE" के अक्षरों को लिखने के तरीकों, जिनमें सभी स्वर हमेशा एक साथ हों, की संख्या है :

यदि $$f(x)=\frac{\sin x+\cos x-\sqrt{2}}{\sin x-\cos x}, x \in[0, \pi]-\left\{\frac{\pi}{4}\right\}$$ हैं, तो $$f\left(\frac{7 \pi}{12}\right) f^{\prime \prime}\left(\frac{7 \pi}{12}\right)$$ बराबर है

माना $$A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{array}\right]$$ है। यदि $$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} 2 A))|=(16)^n$$ है, तो $$\mathrm{n}$$ बराबर है

$$\lim _\limits{x \rightarrow 0}\left(\left(\frac{\left(1-\cos ^2(3 x)\right.}{\cos ^3(4 x)}\right)\left(\frac{\sin ^3(4 x)}{\left(\log _e(2 x+1)\right)^5}\right)\right)$$ बराबर है

एक बोल्ट बनाने के कारखाने में मशीन A, B तथा C कुल उत्पादन का क्रमशः $$20 \%, 30 \%$$ तथा $$50 \%$$ बोल्ट बनाती है। इन मशीनों के उत्पादन का क्रमशः 3, 4 तथा 2 प्रतिशत बोल्ट खराब हैं। बोल्टों के उत्पादन में से एक बोल्ट याहच्छया निकाला जाता है। यदि निकाला गया बोल्ट खराब पाया जाता है, तो इसके मशीन $$\mathrm{C}$$ द्वारा बनाए जाने की प्रायिकता है

5 लड़कियों तथा 7 लड़कों को एक गोल मेज पर इस प्रकार बैठाने, कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें, के तरीकों की संख्या है

रेखाओं $$\frac{x-4}{4}=\frac{y+2}{5}=\frac{z+3}{3}$$ तथा $$\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{2}$$ के बीच न्यनतम दूरी है

माना परवलय $$y^2=20 x$$ की नाभि $$\mathrm{R}$$ है तथा रेखा $$y=m x+c$$ परवलय को दो बिंदुओं $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ पर काटती है। माना त्रिभुज PQR का केन्द्रक, बिंदु $$\mathrm{G}(10,10)$$ है। यदि $$c-m=6$$ है, तो $$(\mathrm{PQ})^2$$ बराबर है।

क्षेत्र $$\left\{(x, y): x^2 \leq y \leq 8-x^2, y \leq 7\right\}$$ का क्षेत्रफल है

माना रेखाओं

$$\begin{aligned} & 4 x+3 y=69 \\ & 4 y-3 x=17, \text { तथा } \\ & x+7 y=61\end{aligned}$$

द्वारा निर्मित त्रिभुज का परिकेन्द्र $$C(\alpha, \beta)$$ है। तो $$(\alpha-\beta)^2+\alpha+\beta$$ बराबर है

माना $$I(x)=\int \frac{(x+1)}{x\left(1+x e^x\right)^2} d x, x > 0$$ हैं। यदि $$\lim _\limits{x \rightarrow \infty} I(x)=0$$ है, तो $$\mathrm{I}(1)$$ बराबर है।

माना $$\alpha, \beta, \gamma$$ समीकरण $$x^3+b x+c=0$$ के तीन मूल हैं। यदि $$\beta \gamma=1=-\alpha$$, तो $$b^3+2 c^3-3 \alpha^3-6 \beta^3-8 \gamma^3$$ बराबर है।

माना समुच्चयों $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ में अवयवों की संख्या क्रमशः पाँच तथा दो है। तो $$\mathrm{A} \times \mathrm{B}$$ के उपसमुच्चयों, जिनमें कम से कम $$3$$ तथा अधिक से अधिक $$6$$ अवयव हो, की संख्या है

माना $$S_K=\frac{1+2+\ldots+K}{K}$$ तथा $$\sum_\limits{j=1}^n S_j^2=\frac{n}{A}\left(B n^2+C n+D\right)$$ हैं, जहाँ $$A, B, C, D \in \mathbb{N}$$ है तथा $$\mathrm{A}$$ का मान न्यूनतम है। तो

माना $$P=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right], A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$$ तथा $$\mathrm{Q}=\mathrm{PAP}^T$$ हैं। यदि $$P^T Q^{2007} P=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$$, तो $$2 a+b-3 c-4 d$$ बराबर है

यदि $$z=\alpha+i \beta$$ के लिए $$|z+2|=z+4(1+i)$$, तो $$\alpha+\beta$$ तथा $$\alpha \beta$$ किस समीकरण के मूल हैं?

यदि स्थिति सदिश $$\alpha \hat{i}+10 \hat{j}+13 \hat{k}, 6 \hat{i}+11 \hat{j}+11 \hat{k}, \frac{9}{2} \hat{i}+\beta \hat{j}-8 \hat{k}$$ के बिंदु एक रेखा में हैं, तो $$(19 \alpha-6 \beta)^2$$ बराबर है

माना [t] महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है। तो $$\frac{2}{\pi} \int_\limits{\pi / 6}^{5 \pi / 6}(8[\operatorname{cosec} x]-5[\cot x]) d x$$ बराबर है ___________

माना $$\mathrm{A}=\{0,3,4,6,7,8,9,10\}$$ है तथा $$\mathrm{A}$$ पर एक संबंध $$\mathrm{R}, R=\{(x, y) \in A \times A: x-y$$ विषम घनात्मक पूर्णांक है या $$x-y=2$$ है } द्वारा परिभाषित है। संबंध $$\mathrm{R}$$ के सममित होने के लिए इसमें कम से कम कितनें अवयव जोड़े जाएँ? _____________.

यदि अवकल समीकरण $$\left(y-2 \log _e x\right) d x+\left(x \log _e x^2\right) d y=0, x>1$$ का हल वक्र बिंदुओं $$\left(e, \frac{4}{3}\right)$$ तथा $$\left(e^4, \alpha\right)$$ से होकर जाता है, तो $$\alpha$$ बराबर है ____________

माना $$8$$ संख्याओं $$\mathrm{x}, \mathrm{y}, 10,12,6,12,4,8$$ के माध्य तथा प्रसरण क्रमशः $$9$$ तथा $$9.25$$ हैं। यदि $$x > y$$ है, तो $$3 x-2 y$$ बराबर है ______________.

माना सदिश $$\vec{a}=6 \hat{i}+9 \hat{j}+12 \hat{k}, \vec{b}=\alpha \hat{i}+11 \hat{j}-2 \hat{k}$$ तथा $$\vec{c}$$ इस प्रकार हैं कि $$\vec{a} \times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}$$ है। यदि $$\vec{a} \cdot \vec{c}=-12, \vec{c} \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})=5$$ हैं, तो $$\vec{c} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$$ बराबर है __________

यदि अनुक्रम $$a_n=\frac{n^3}{n^4+147}, n=1,2,3, \ldots$$ का अधिकतम पद $$a_\alpha$$ है, तो $$\alpha$$ बराबर है _________

माना [t] महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है। यदि $$\left(3 x^2-\frac{1}{2 x^5}\right)^7$$ के प्रसार में अचर पद $$\alpha$$ है, तो $$[\alpha]$$ बराबर है _____________

एक वृत्त $$C_1: x^2+y^2-4 x-2 y=\alpha-5$$ का विचार कीजिए। माना रेखा $$y=2 x+1$$ में इसका दर्पण प्रतिबिंब वृत्त $$C_2: 5 x^2+5 y^2-10 f x-10 g y+36=0$$ है। माना वृत्त $$\mathrm{C}_2$$ की त्रिज्या $$\mathrm{r}$$ है। तो $$\alpha+r$$ बराबर है ___________.

अधिकतम धनपूर्णांक $$n$$, जिसके लिए $$66 !, 3^n$$ से विभाज्य है, है _________