माना तीन सदिश $$\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$$ तथा $$\vec{c}=5 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$$ है। यदि एक सदिश $$\vec{r}$$ के लिए $$\vec{r} \times \vec{b}=\vec{c} \times \vec{b}$$ तथा $$\vec{r} \cdot \vec{a}=0$$ है, तो $$25|\vec{r}|^{2}$$ बराबर है

माना $$f: \mathbb{R}-\{2,6\} \rightarrow \mathbb{R}$$ एक वास्तविक मान फलन है, जो $$f(x)=\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-8 x+12}$$ द्वारा परिभाषित है। तो $$f$$ का परिसर है

समीकरण $$e^{4 x}+8 e^{3 x}+13 e^{2 x}-8 e^{x}+1=0 ~x \in \mathbb{R}$$ :

माना $$(a, b) \subset(0,2 \pi)$$ सबसे बड़ा अंतराल हैं, जिसके लिए

$$\sin ^{-1}(\sin \theta)-\cos ^{-1}(\sin \theta)>0, \theta \in(0,2 \pi)$$

है । यदि $$\alpha x^2+\beta x+\sin ^{-1}\left(x^2-6 x+10\right)+\cos ^{-1}\left(x^2-6 x+10\right)=0$$ तथा $$\alpha-\beta=b-a$$ है, तो $$\alpha$$ बराबर है :

माना $$\alpha > 0$$ है । यदि $$\int_\limits{0}^{\alpha} \frac{x}{\sqrt{x+\alpha}-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\frac{16+20 \sqrt{2}}{15}$$, है, तो $$\alpha$$ बराबर है :

माना 100 छात्रों की कक्षा A के छात्रों के अंकों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 40 तथा $$\alpha(> 0)$$ हैं तथा $$\mathrm{n}$$ छात्रों की कक्षा $$\mathrm{B}$$ के छात्रों के अंकों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमश: 55 तथा $$30-\alpha$$ हैं । यदि सयुंक्त कक्षा के $$100+\mathrm{n}$$ छात्रों के अंकों के माध्य तथा प्रसरण क्रमश: 50 तथा 350 हैं, तो कक्षाओं $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ के प्रसरणों का योग है :

माना $$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$$ एक A.P. हैं । यदि $$a_{7}=3$$ है, गुणनफल $$a_{1} a_{4}$$ न्यूनतम है, तथा इसके प्रथम $$n$$ पदों का योग शून्य है, तो $$n !-4 a_{n(n+2)}$$ बराबर है :

समिश संख्या $$z=\frac{i-1}{\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}}$$ बराबर है :

संबंधों

$$\mathrm{S}=\left\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}): \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}-\{0\}, 2+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}>0\right\}$$ तथा $$\mathrm{T}=\left\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}): \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{R}, \mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2} \in \mathbb{Z}\right\}$$, में

अंतराल $$[-1,2]$$ में फलन $$f(x)=\left|x^2-x+1\right|+\left[x^2-x+1\right]$$, जहाँ [t] महत्तम पूर्णांक फलन है, का निरपेक्ष न्यूनतम मान है :

यदि $$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \int_\limits{\frac{\pi}{4}}^{x}\left(4 \sqrt{2} \sin t-3 \phi^{\prime}(t)\right) d t, x > 0$$ है, तो $$\emptyset^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ बराबर है :

माना अतिपरवलय $$\mathrm{H}$$ की नाभियाँ $$(1 \pm \sqrt{2}, 0)$$ तथा उत्केन्द्रता $$\sqrt{2}$$ है । तो $$\mathrm{H}$$ की नाभिलंब जीवा की लंबाई है :

$$\lim_\limits{x \rightarrow \infty} \frac{(\sqrt{3 x+1}+\sqrt{3 x-1})^{6}+(\sqrt{3 x+1}-\sqrt{3 x-1})^{6}}{\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)^{6}+\left(x-\sqrt{x^{2}-1}\right)^{6}} x^{3}$$

माना अवकल समीकरण $$\left(3 y^{2}-5 x^{2}\right) y \mathrm{~d} x+2 x\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} y=0, y(1)=1$$ का हल $$y=y(x)$$ है तो $$\mid(y(2))^{3}-12 y(2) \mid$$ बराबर है :

$$a^{2}$$ के सभी मानों, जिनके लिए रेखा $$x+y=0$$, वृत $$2 x^{2}+2 y^{2}-(1+a) x-(1-a) y=0$$ के बिंदु $$\mathrm{P}\left(\frac{1+a}{2}, \frac{1-a}{2}\right)$$ से खिंची गई दो भित्र जीवाओं को समद्विभाजित करती है, का समुच्चय बराबर हैं :

माना क्षेत्र $$\left\{(x, y):|2 x-1| \leq y \leq\left|x^{2}-x\right|, 0 \leq x \leq 1\right\}$$ का क्षेत्रफल $$\mathrm{A}$$ है । तो $$(6 \mathrm{~A}+11)^{2}$$ बराबर है ___________ |

$$\left(\frac{4 x}{5}+\frac{5}{2 x^{2}}\right)^{9}$$ के प्रसार में $$x^{-6}$$ का गुणांक है __________.

माना $$\mathrm{A}=\left[\mathrm{a}_{i j}\right], \mathrm{a}_{i j} \in \mathrm{Z} \cap[0,4], 1 \leq i, j \leq 2$$ है । ऐसे आव्यूहों $$\mathrm{A}$$, जिनके सभी अवयवों का योग एक अभाज्य संख्या $$\mathrm{p} \in(2,13)$$ है, की संख्या है ____________ |

यदि $${ }^{2 n+1} \mathrm{P}_{n-1}:{ }^{2 n-1} \mathrm{P}_{n}=11: 21$$ है, तो $$n^{2}+n+15$$ बराबर है ___________

माना तीन सदिशों $$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$ के लिए $$|\vec{a}|=\sqrt{31}, 4|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$$ तथा $$2(\vec{a} \times \vec{b})=3(\vec{c} \times \vec{a})$$ हैं । यदि $$\vec{b}$$ तथा $$\vec{c}$$ के बीच कोण $$\frac{2 \pi}{3}$$ है, तो $$\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^{2}$$ बराबर है _____________ |

माना प्रतिदर्श समष्टि $$[0,60]$$ से याहच्छया चुनी गई दो वास्तविक संख्याओं का निरपेक्ष अंतर $$\mathrm{a}$$ से कम या इसके बराबर होने की घटना $$\mathrm{A}$$ है । यदि $$\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{11}{36}$$ है, तो $$\mathrm{a}$$ बराबर है ____________ |

यदि $$\left(\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}-\frac{4}{x^{l}}\right)^{9}$$ के द्विपद प्रसार में अचर पद $$-84$$ है तथा $$x^{-3 l}$$ का गुणांक $$2^{\alpha} \cdot \beta$$ है, जहाँ $$\beta < 0$$ एक विषम संख्या है, तो $$|\alpha l-\beta|$$ बराबर है _____________ |