यदि सम्मिश्र संख्या $$\mathrm{z} \neq 0$$ के लिए $$\left|\mathrm{z}-\frac{1}{\mathrm{z}}\right|=2$$ है, तो $$|\mathrm{z}|$$ का अधिकतम मान है

आव्यूह $$\left[\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 1 & -1\end{array}\right]$$ पर केवल एक प्रारंभिक पंक्ति संक्रिया से निम्न में से कौनसा आव्यूह प्राप्त नहीं किया जा सकता ?

यदि समीकरण निकाय

$$ \begin{aligned} &x+y+z=6 \\ &2 x+5 y+\alpha z=\beta \\ &x+2 y+3 z=14 \end{aligned} $$

के अनंत हल है, तो $$\alpha+\beta$$ बराबर है

माना फलन $$f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{\log _{e}(1+5 x)-\log _{e}(1+\alpha x)}{x} ; & \text { यदि } x \neq 0 \\ 10 & ; \text { यदि } x=0 \end{array}, x=0\right.$$ पर संतत है । तो $$\alpha$$ बराबर है ।

यदि $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है, तो $$\int_{0}^{1}\left[2 x-\left|3 x^{2}-5 x+2\right|+1\right] \mathrm{dx}$$ का मान है -

$$I(x)=\int \frac{\sec ^{2} x-2022}{\sin ^{2022} x} d x$$ के लिए, यदि $$I\left(\frac{\pi}{4}\right)=2^{1011}$$ है, तो

यदि अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}=\frac{x+y-2}{x-y}$$ का हल वक्र बिंदुओं $$(2,1)$$ तथा $$(k+1,2)$$, $$k>0$$ से होकर जाता है, तो

माना अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}+\left(\frac{2 x^{2}+11 x+13}{x^{3}+6 x^{2}+11 x+6}\right) y=\frac{(x+3)}{x+1}, x>-1$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$, बिंदु $$(0,1)$$ से होकर जाता है । तो $$y(1)$$ बराबर है

माना भुजा $$a$$ के एक वर्ग की संलग्र भुजाओं की प्रवणताएं $$m_{1}, m_{2}$$ हैं तथा $$a^{2}+11 a+3\left(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}\right)=220$$ है । यदि वर्ग का एक शीर्ष $$(10(\cos \alpha-\sin \alpha), 10(\sin \alpha+\cos \alpha)), \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$$ है तथा एक विकर्ण का समीकरण $$(\cos \alpha-\sin \alpha) x+(\sin \alpha+\cos \alpha) y=10$$ है, तो $$72\left(\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha\right)+a^{2}-3 a+13$$ बराबर है ।

माना $$\mathrm{A}(\alpha,-2), \mathrm{B}(\alpha, 6)$$ तथा $$\mathrm{C}\left(\frac{\alpha}{4},-2\right)$$ एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ के शीर्ष हैं । यदि $$\triangle \mathrm{ABC}$$ का परिकेन्द्र $$\left(5, \frac{\alpha}{4}\right)$$ है, तो इस त्रिभुज के लिए निम्न में से कौनसा सही नही है ?

थैले $$\mathrm{I}$$ में 3 लाल, 4 काली तथा 3 सफेद गेंद हैं तथा थैले $$\mathrm{II}$$ में 2 लाल, 5 काली तथा 2 सफेद गेंद हैं । थैल $$\mathrm{I}$$ में से एक गेंद थैले $$\mathrm{II}$$ में स्थानांतरित की जाती है और तब थैले $$\mathrm{II}$$ से एक गेंद निकाली जाती है । इस प्रकार निकाली गई गेंद का रंग काला है । तो स्थानांतरित गेंद का रंग लाल होने की प्रायिकता है

माना $$S=\{z=x+i y:|z-1+i| \geq|z|,|z|<2,|z+i|=|z-1|\}$$ है । तो $$x$$ के उन सभी मानों, जिनके लिए किसी $$y \in \mathbb{R}$$ के लिए $$w=2 x+i y \in S$$ है, का समुच्चय है ।

माना तीन सहतलीय संगामी सदिश $$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$ इस प्रकार हैं कि किन्हीं भी दो के बीच के कोण बराबर हैं । यदि इन सदिशों के परिमाणों का गुणनफल $$14$$ है तथा $$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{b} \times \vec{c})+(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot(\vec{c} \times \vec{a})+(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot(\vec{a} \times \vec{b})=168$$, है, तो $$|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|$$ बराबर है ।

फलन $$f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}+2 x+7}\right)$$ का प्रांत है

माना द्विघात समीकरण $$x^{2}-x-4=0$$ के मूल $$\alpha, \beta(\alpha>\beta)$$ हैं । यदि $$P_{n}=\alpha^{n}-\beta^{n}, n \in \mathbb{N}$$ है, तो $$\frac{P_{15} P_{16}-P_{14} P_{16}-P_{15}^{2}+P_{14} P_{15}}{P_{13} P_{14}}$$ बराबर है ____________.

माना $$X=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$$ तथा $$A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$$ हैं । $$k \in N$$ के लिए, यदि $$X^{\prime} A^{k} X=33$$ है, तो $$k$$ बराबर है ___________.

अंकों की पुनरावृत्ति के बिना, अंकों $$2,3,4,5,6$$ के प्रयोग से $$1012$$ तथा $$23421$$ के बीच बनाई जा सकने वाली उन संख्याओं, जो $$55$$ से विभाज्य हैं, की संख्या हैं ___________.

यदि $$[t]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq t$$ है, तो उन बिंदुओं, जिन पर फलन $$f(x)=4|2 x+3|+9\left[x+\frac{1}{2}\right]-12[x+20]$$ विवृत अंतराल $$(-20,20)$$ में अवकलनीय नहीं हैं, की संख्या है ___________.

माना वृत्त $$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{169}{4}$$ की एक जीवा $$A B$$ की लंबाई $$12$$ है । यदि $$A$$ तथा $$B$$ पर खींची गई वृत्त की स्पर्श रेखाएँ बिंदु $$P$$ पर मिलती हैं, तो बिंदु $$P$$ की जीवा $$A B$$ से दूरी का पाँच गुना बराबर है _____________.

माना दो सदिशों $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ के लिए $$|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+2|\vec{b}|^{2}, \vec{a} \cdot \vec{b}=3$$ तथा $$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}=75$$ हैं । तो $$|\vec{a}|^{2}$$ बराबर है _____________.

माना $$S=\left\{(x, y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: 9(x-3)^{2}+16(y-4)^{2} \leq 144\right\}$$ तथा $$T=\left\{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}:(x-7)^{2}+(y-4)^{2} \leq 36\right\}$$ हैं । तो $$n(S \cap T)$$ बराबर _____________ है ।