एक त्रिभुज PQR में, P और Q के समन्वय बिन्दु क्रमशः ($$-$$2, 4) और (4, $$-$$2) हैं। यदि PR के लंबवत समान विभाजक का समीकरण 2x $$-$$ y + 2 = 0 है, तो त्रिभुज PQR के परिचक्र का केंद्र है :

मान का
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{{\cos }^{ - 1}}(x - {{[x]}^2}).{{\sin }^{ - 1}}(x - {{[x]}^2})} \over {x - {x^3}}}$$, जहां [ x ] वह सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है जो $$ \le $$ x है, वह है :

निम्नलिखित में से कौन सा कथन $$\alpha$$ के लिए g($$\alpha$$) फ़ंक्शन के लिए सही है जब $$\alpha$$ $$\in$$ R ऐसा है कि

$$g(\alpha ) = \int\limits_{{\pi \over 6}}^{{\pi \over 3}} {{{{{\sin }^\alpha }x} \over {{{\cos }^\alpha }x + {{\sin }^\alpha }x}}dx} $$

निम्नलिखित में से कौनसा सत्य है y(x) के लिए जो डिफेरेंशियल समीकरण को संतुष्ट करता है

$${{dy} \over {dx}}$$ = xy $$-$$ 1 + x $$-$$ y; y(0) = 0 :

x के संभावित मानों का योग है :

tan^$$-$$1(x + 1) + cot^$$-$$1$$\left( {{1 \over {x - 1}}} \right)$$ = tan^$$-$$1$$\left( {{8 \over {31}}} \right)$$ है :

$$4 + {1 \over {5 + {1 \over {4 + {1 \over {5 + {1 \over {4 + ......\infty }}}}}}}}$$ का मान है :

$$y = {5^{\log x}}$$ का व्युत्क्रम है :

दो पासे फेंके जाते हैं। यदि दोनों पासे में छह चेहरे हैं जिन पर 1, 2, 3, 5, 7 और 11 अंकित हैं, तब शीर्ष चेहरों पर संख्याओं का योग 8 से कम या बराबर होने की संभावना है :

यदि $${(x + {x^{{{\log }_2}x}})^7}$$ के विस्तार में चौथा पद 4480 है, तो x का मान, जहां x$$\in$$N होता है, निम्नलिखित में से किसके बराबर है:

समीकरणों की प्रणाली kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + zk = k² का कोई समाधान नहीं होता है यदि k के बराबर हो :

एक स्कूल में, तीन प्रकार के खेल खेले जाते हैं। कुछ छात्र दो प्रकार के खेल खेलते हैं, लेकिन कोई तीनों खेल नहीं खेलता। निम्नलिखित में से कौन सी वेन आरेख उपरोक्त कथन को सही ठहरा सकता है?

यदि cot^$$-$$1($$\alpha$$) = cot^$$-$$1 2 + cot^$$-$$1 8 + cot^$$-$$1 18 + cot^$$-$$1 32 + ...... 100 शर्तों तक, तब $$\alpha$$ है :

टीम 'A' में 7 लड़के और n लड़कियाँ हैं और टीम 'B' में 4 लड़के और 6 लड़कियाँ हैं। अगर इन दोनों टीमों के बीच 52 एकल मैचों का आयोजन किया जा सकता है जब एक लड़का लड़के के खिलाफ और एक लड़की लड़की के खिलाफ खेलता है, तो n का मान होता है:

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष A(z), B(iz) और C(z + iz) हैं, बराबर है :

यदि (2021)³⁷⁶² को 17 से विभाजित किया जाता है, तो शेष बचा __________ है।

माना कि तीन स्वतंत्र घटनाएँ E₁, E₂ और E₃ हैं। केवल E₁ के घटित होने की सम्भावना $$\alpha$$, केवल E₂ के घटित होने की सम्भावना $$\beta$$ और केवल E₃ के घटित होने की सम्भावना $$\gamma$$ है। माना कि 'p' उस सम्भावना को दर्शाता है जब कोई भी घटना नहीं घटित होती है जो समीकरण
($$\alpha$$ $$-$$ 2$$\beta$$)p = $$\alpha$$$$\beta$$ और ($$\beta$$ $$-$$ 3$$\gamma$$)p = 2$$\beta$$$$\gamma$$ को संतुष्ट करता है। सभी दिए गए संभावनाओं को अंतराल (0, 1) में माना जाता है।

तब, $$\frac{E_{1}\text{ के घटित होने की सम्भावना}}{E_{3}\text{ के घटित होने की सम्भावना}} $$ के बराबर है ____________।

निम्नलिखित समीकरण में z का अधिकतम मान z = 6xy + y², जहाँ 3x + 4y $$ \le $$ 100 और 4x + 3y $$ \le $$ 75 x $$ \ge $$ 0 और y $$ \ge $$ 0 के लिए है __________।

यदि [ . ] सबसे बड़े पूर्णांक फ़ंक्शन को दर्शाता है, तब


$$\left| {\int\limits_0^{\sqrt {{\pi \over 2}} } {\left[ {[{x^2}] - \cos x} \right]dx} } \right|$$ का मान ____________ होता है।

यदि $$f(x) = \sin \left( {{{\cos }^{ - 1}}\left( {{{1 - {2^{2x}}} \over {1 + {2^{2x}}}}} \right)} \right)$$ और इसका पहला डेरिवेटिव x के सापेक्ष है $$ - {b \over a}{\log _e}2$$ जब x = 1, जहाँ a और b पूर्णांक हैं, तब | a² $$-$$ b² | का न्यूनतम मान ____________ होता है।

यदि फलन $$f(x) = {{\cos (\sin x) - \cos x} \over {{x^4}}}$$ अपने डोमेन में प्रत्येक स्थान पर सतत है और $$f(0) = {1 \over k}$$ हो, तो k का मान ____________ होता है।