माना f(x) = log_e(sin x), (0 < x < $$\pi $$) और g(x) = sin^–1 (e^–x ), (x $$ \ge $$ 0)। यदि $$\alpha $$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है जिसके लिए a = (fog)'($$\alpha $$) और b = (fog)($$\alpha $$), तो :

एक गोलाकार लोहे की गेंद जिसकी त्रिज्या 10 सेमी है, को बर्फ की एक समान मोटाई की परत से ढका गया है जो 50 सेमी^3/मिनट की दर से पिघलती है। जब बर्फ की मोटाई 5 सेमी होती है, तो बर्फ की मोटाई (सेमी/मिनट में) कम होने की दर होती है :

समीकरण
5 + |2^x – 1| = 2^x (2^x – 2) के वास्तविक मूलों की संख्या है

यदि $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {{{x^2} - ax + b} \over {x - 1}} = 5$$, तो a + b का मान है :

एक निष्पक्ष सिक्के को न्यूनतम कितनी बार उछाला जाना चाहिए ताकि कम से कम एक सिरा पाने की संभावना 99% से अधिक हो जाए:

अगर $$\int {{x^5}} {e^{ - {x^2}}}dx = g\left( x \right){e^{ - {x^2}}} + c$$, जहां c एकीकरण का स्थायी है, तो $$g$$(-1) के बराबर है :

एक A.P. के a₁, a₂, a₃,...... a₆ = 2 है। तब इस A.P. का सामान्य अंतर, जो a₁a₄a₅ के उत्पाद को अधिकतम करता है, है:

जिस बिंदु का स्थिति वेक्टर $$ - \widehat i + 2\widehat j + 6\widehat k$$ है, उसकी सीधी रेखा से दूरी जो बिंदु (2, 3, – 4) से होकर जाती है और वेक्टर $$6\widehat i + 3\widehat j - 4\widehat k$$ के समानांतर है, वह है :

यदि $${\cos ^{ - 1}}x - {\cos ^{ - 1}}{y \over 2} = \alpha $$, जहाँ –1 $$ \le $$ x $$ \le $$ 1, – 2 $$ \le $$ y $$ \le $$ 2, x $$ \le $$ $${y \over 2}$$ , तो सभी x, y के लिए, 4x² – 4xy cos $$\alpha $$ + y² किसके बराबर होता है:

यदि 50 निरीक्षणों x₁, x₂,..., x₅₀ का माध्य और मानक विचलन दोनों 16 के बराबर हैं, तो (x₁ – 4)² , (x₂ – 4)² ,....., (x₅₀ – 4)² का माध्य है :

रेखाओं को समानांतर खींचा जाता है 4x – 3y + 2 = 0 से एक निश्चित दूरी पर मूल से $$\frac{3}{5}$$ है। फिर निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु इनमें से किसी भी रेखा पर स्थित होता है ?

माना y = y(x) समीकरण का समाधान हो,
$${{dy} \over {dx}} + y\tan x = 2x + {x^2}\tan x$$, $$x \in \left( { - {\pi \over 2},{\pi \over 2}} \right)$$ के लिए, ताकि y(0) = 1। तब :

माना जाए कि $$a$$, b और c सामान्य अनुपात r के साथ G.P. में हैं, जहाँ $$a$$ $$ \ne $$ 0 और 0 < r $$ \le $$ $${1 \over 2}$$ है। यदि 3$$a$$, 7b और 15c एक A.P. की पहली तीन शर्तें हैं, तो इस A.P. की 4^वीं शर्त है:

जिस बिंदु का स्थिति वेक्टर $$ - \widehat i + 2\widehat j + 6\widehat k$$ है, उसकी सीधी रेखा से दूरी जो बिंदु (2, 3, – 4) से होकर जाती है और वेक्टर $$6\widehat i + 3\widehat j - 4\widehat k$$ के समानांतर है, वह है :

यदि $${\cos ^{ - 1}}x - {\cos ^{ - 1}}{y \over 2} = \alpha $$, जहाँ –1 $$ \le $$ x $$ \le $$ 1, – 2 $$ \le $$ y $$ \le $$ 2, x $$ \le $$ $${y \over 2}$$ , तो सभी x, y के लिए, 4x² – 4xy cos $$\alpha $$ + y² किसके बराबर होता है:

एक A.P. के a₁, a₂, a₃,...... a₆ = 2 है। तब इस A.P. का सामान्य अंतर, जो a₁a₄a₅ के उत्पाद को अधिकतम करता है, है:

यदि z और w दो जटिल संख्याएँ हैं जिनके लिए |zw| = 1 है और arg(z) – arg(w) = $${\pi \over 2}$$ है, तब :

समीकरण
$$\left| {\matrix{ x & { - 6} & { - 1} \cr 2 & { - 3x} & {x - 3} \cr { - 3} & {2x} & {x + 2} \cr } } \right| = 0$$ के वास्तविक मूलों का योग बराबर है :

यदि 5x + 9 = 0 हाइपरबोला 16x^2 – 9y^2 = 144 की निर्देशिका है, तो इसका संबंधित ध्रुव है :

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या n, जिसके लिए $${\left( {{x^2} + {1 \over {{x^3}}}} \right)^n}$$ के विस्तार में x के गुणांक का मान ⁿC₂₃ हो, वह है :

माना $$\lambda $$ एक वास्तविक संख्या है जिसके लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली x + y + z = 6, 4x + $$\lambda $$y – $$\lambda $$z = $$\lambda $$ – 2, 3x + 2y – 4z = – 5 के अनंत समाधान हैं। तब $$\lambda $$ वह द्विघात समीकरण का एक मूल है: