माना $$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots \ldots, a_{n}, \ldots . .$$ एक समांतर श्रेढ़ी में हैं। यदि $$a_{3}+a_{7}+a_{11}+a_{15}=72$$ है, तो उसके प्रथम $$17$$ पदों का योग बराबर है :

यदि $$\frac{{ }^{n+2} \mathrm{C}_{6}}{{ }^{n-2} \mathrm{P}_{2}}=11$$, है, तो $$n$$ निम्न में से किस समीकरण को संतुष्ट करता है ?

यदि $$\left(x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2 x^{\frac{1}{3}}}\right)^{18},(x>0)$$, के प्रसार में $$x^{-2}$$ तथा $$x^{-4}$$ के गुणांक क्रमश: $$m$$ तथा $$n$$ हैं, तो $$\frac{m}{n}$$ बराबर है :

यदि $$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}-4 & -1 \\ 3 & 1\end{array}\right]$$ है, तो आव्यूह ($$\mathrm{A}^{2016}-2 \mathrm{~A}^{2015}-\mathrm{A}^{2014}$$) का सारणिक है :

माना $$\mathrm{A}, 3 \times 3$$ का एक ऐसा आव्यूह है कि $$\mathrm{A}^{2}-5 \mathrm{~A}+7 \mathrm{I}=\mathrm{O}$$ है।

कथन - $$\mathrm{I}$$ : $$\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{7}(5 \mathrm{I}-\mathrm{A})$$.

कथन - $$\mathrm{II}$$ : बहुपद $$\mathrm{A}^{3}-2 \mathrm{~A}^{2}-3 \mathrm{~A}+\mathrm{I}$$ को $$5(\mathrm{~A}-4 \mathrm{I})$$ में परिवर्तित किया जा सकता है।

तो,

यदि समीकरण $$\sqrt{2 x+1}-\sqrt{2 x-1}=1,\left(x \geqslant \frac{1}{2}\right)$$, का $$x$$ एक हल है, तो $$\sqrt{4 x^{2}-1}$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{P}=\{\theta: \sin \theta-\cos \theta=\sqrt{2} \cos \theta\}$$ तथा $$\mathrm{Q}=\{\theta: \sin \theta+\cos \theta=\sqrt{2} \sin \theta\}$$ दो समुच्चय हैं, तो :

योगफल $$\sum\limits_{r=1}^{10}\left(r^{2}+1\right) \times(r !)$$ बराबर है :

$$x \in \mathbf{R}, x \neq 0$$, के लिए, यदि $$y(x)$$ एक ऐसा अवकलनीय फलन है कि

$$x \int\limits_{1}^{x} y(t) d t=(x+1) \int\limits_{1}^{x} t y(t) d t$$ है, तो $$y(x)$$ बराबर है :

( जहाँ $$\mathrm{C}$$ एक अचर है।)

यदि $$\mathrm{A}>0, \mathrm{~B}>0$$ तथा $$\mathrm{A}+\mathrm{B}=\frac{\pi}{6}$$ है, तो $$\tan A+\tan B$$ का न्यूनतम मान है :

$$5$$ प्रेक्षणों का माध्य $$5$$ है तथा उनका प्रसरण $$124$$ है। यदि उनमें से तीन प्रेक्षण $$1,2$$ तथा $$6$$ हैं, तो इन आँकड़ों का माध्य से माध्य विचलन है :

माना $$\mathrm{ABC}$$ एक त्रिभुज है जिसका परिकेन्द्र $$\mathrm{P}$$ पर है। यदि बिंदुओं $$\mathrm{A, B, C}$$ तथा $$\mathrm{P}$$ के स्थिति सदिश क्रमशः $$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$ तथा $$\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{4}$$ हैं, तो इस त्रिभुज के लंब - केन्द्र का स्थिति सदिश है :

एक समतल में एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ है जिसके शीर्ष $$\mathrm{A}(2,3,5), \mathrm{B}(-1,3,2)$$ तथा $$\mathrm{C}(\lambda, 5, \mu)$$ हैं। यदि $$\mathrm{A}$$ से होकर जाती माध्यिका निर्देशांक अक्षों पर समान रूप से झुकी है, तो $$\left(\lambda^{3}+\mu^{3}+5\right)$$ का मान है :

अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}+\frac{y}{2} \sec x=\frac{\tan x}{2 y}$$, जहाँ $$0 \leq x<\frac{\pi}{2}$$ है तथा $$y(0)=1$$ है, का हल है :

एक अतिपरवलय, जिसका अनुप्रस्थ अक्ष शांकव $$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=4$$ के दीर्घ अक्ष की दिशा में है तथा जिसके शीर्ष इस शांकव की नाभियों पर है। यदि अतिपरवलय की उत्केन्द्रता $$\frac{3}{2}$$ है, तो निम्न में से कौन सा बिंदु इस पर स्थित नहीं है ?

मूल बिंदु $$\mathrm{O}$$ से होकर जाने वाली एक सरल रेखा रेखाओं $$3 y=10-4 x$$ तथा $$8 x+6 y+5=0$$ को क्रमश: बिंदुओं $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ पर मिलती हैं, तो बिंदु $$\mathrm{O}$$ रेखाखंड $$\mathrm{AB}$$ को जिस अनुपात में विभाजित करता है, वह है :

प्रकाश की एक किरण एक रेखा की दिशा में आपतित है जो एक अन्य रेखा $$7 x-y+1=0$$ को बिंदु $$(0,1)$$ पर मिलती है। वह किरण फिर इस बिंदु से रेखा $$y+2 x=1$$ की दिशा में परिवर्तित होती है, तो आपतित प्रकाश की किरण का समीकरण है :

समाकल $$\int\limits_{4}^{10} \frac{\left[x^{2}\right] d x}{\left[x^{2}-28 x+196\right]+\left[x^{2}\right]}$$, जहाँ $$[x], x$$ से कम या $$x$$ के बराबर महत्तम पूर्णांक है, का मान है :

समाकल $$\int \frac{d x}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x-x^{2}}}$$ बराबर है :

( जहाँ $$\mathrm{C}$$ एक समाकलन अचर है।)

माना $$f(x)=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x$$ है, तो निम्न में से किस अंतराल में $$f$$ एक वर्धमान फलन है ?

माना $$a, b \in \mathbf{R},(a \neq 0)$$ । यदि फलन $$f$$ जो, निम्न द्वारा परिभाषित है :

$$ f(x)= \begin{cases}\frac{2 x^{2}}{a}, & 0 \leq x<1 \\ a, & 1 \leq x<\sqrt{2} \\ \frac{2 b^{2}-4 b}{x^{3}}, & \sqrt{2} \leq x<\infty\end{cases} $$

अंतराल $$[0, \infty)$$ में सतत है, तो एक क्रमित युग्म $$(a, b)$$ है :

$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos 2 x)^{2}}{2 x \tan x-x \tan 2 x}$$ बराबर है :