যদি $$z \neq 0$$ একটি জটিল সংখ্যা, যেখানে $$\left|z-\frac{1}{z}\right|=2$$, তবে $$\mathrm{|z|}$$ এর বৃহত্তম মান হবে :

$$ \left[\begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array}\right]$$ এই ম্যাট্রিক্স থেকে কেবল মাত্র একবার সারি প্রক্রিয়ার প্রয়োগ করে নীচের কোন ম্যাট্রিক্সটি পাওয়া যাবে না ?

যদি রৈখিক সমীকরণগুলি

$$ \begin{aligned} &x+y+z=6 \\ &2 x+5 y+\alpha z=\beta \\ &x+2 y+3 z=14 \end{aligned} $$

এদের অসংখ্য সমাধান থাকবে, তবে $$\alpha+\beta$$ এর মান হবে

ধরি $$f$$ একটি অপেক্ষা $$R$$ এ, সংঙ্গাত যেখানে $$f(x) = \left\{ {\matrix{ {{{{{\log }_e}(1 + 5x) - {{\log }_e}(1 + ax)} \over x}} & {;\,if\,x \ne 0} \cr {10} & {;\,if\,x = 0} \cr } } \right.$$, হই $$x = 0$$ বিন্দুতে সন্তত হয়। তবে $$\alpha $$ এর মান হবে

যদি $$[t]$$ বৃহত্তম অখণ্ড সংখ্যা $$ \le t$$, তবে $$\int_0^1 {[2x - |3{x^2} - 5x + 2| + 1]dx} $$ এর মান হবে ঃ

$$I(x) = \int {{{{{\sec }^2}x - 2022} \over {{{\sin }^{2022}}x}}dx} $$ এর জন্য যদি $$I\left( {{\pi \over 4}} \right) = {2^{1011}}$$ , তবে

অবকলন সমীকরণ $${{dy} \over {dx}} = {{x + y - 2} \over {x - y}}$$ এর সমাধান $$(2.1)$$ এবং $$(k + 1,2)k > 0$$ বিন্দুগামী হলে তাহা হবে

ধরি $$y = y(x)$$ অবকলন সমীকরণ $${{dy} \over {dx}} + \left( {{{2{x^2} + 11x + 13} \over {{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6}}} \right)y = {{(x + 3)} \over {x + 1}}x > - 1$$ এর সমাধান যাহা $$(0,1)$$ বিন্দুগামী, তবে $$y(1)$$ এর মান হবে ঃ

একটি বর্গক্ষেত্র যাহার বাহুর দৈর্ঘ্য $$'a'$$ তাহার দুটি পাশাপাশি বাহুর প্রবনতা $${m_1},{m_2}$$, যেখানে $${a^2} + 11a + 3(m_1^2 + m_2^2) = 220$$ । যদি বর্গক্ষেত্রে একটি শীর্ষবিন্দু হয় $$(10(\cos \alpha - \sin \alpha ),\,10(\sin \alpha + \cos \alpha )),$$ যেখানে $$\alpha \in \left( {0,{\pi \over 2}} \right)$$ এবং একটি কর্ণের সমীকরণ $$(\cos \alpha - \sin \alpha )x + (\sin \alpha + \cos \alpha )y = 10,$$ তবে $$72({\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha ) + {a^2} + 3a + 13$$ এর মান হবে ঃ

ধরি $$A(a, - 2),\,B(a,6)$$ এবং $$C\left( {{\alpha \over 4}, - 2} \right)$$ একটি ত্রিভূজের শীর্ষবিন্দু। যদি ত্রিভূজের অন্তঃকেন্দ্র হয় $$\left( {5,{\alpha \over 4}} \right)$$ তবে নীচের কোনটি $$\Delta ABC$$ এক্ষেত্রে অসত্য এর মান হবে

ব্যাগ $$I$$ এ আছে $$3$$ টি লাল, $$4$$ টি কালো এবং $$3$$ টি সাদা বল এবং ব্যাগ $$II$$ এ আছে $$2$$ টি লাল, $$5$$ টি কালো এবং $$2$$ টি সাদা বল। একটি বল প্রথম ব্যাগ থেকে দ্বিতীয় ব্যাগে স্থানান্তরিত করা হল এবং পরে একটি বল দ্বিতীয় ব্যাগ থেকে তুলা হল। বলটি কালো হলে, স্থানান্তরিত বলটি লাল হইবার সম্ভাবনা হবে ঃ

Let $$S = \{ z = x + iy:|z - 1 + i| \ge |z|,|z| < 2,|z + i| = |z - 1|\} $$. Then the set of values of $$x$$, for which $$w = 2x + iy \in S$$ for some $$y \in R$$ is

ধরি $$\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $$ তিনটি একই বিন্দুগামী একই সমতলে অবস্থিত তিনটি ভেক্টর যাহাদের যেকোনো দুটির মধ্যবর্তী কোণ সমান। যদি তাদের মানের গুণফল $$14$$ এবং $$(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ).(\overrightarrow b \times \overrightarrow c ) + (\overrightarrow b \times \overrightarrow c ).(\overrightarrow c \times \overrightarrow a ) + (\overrightarrow c \times \overrightarrow a ).(\overrightarrow a \times \overrightarrow b ) = 168$$ হয়, তবে $$|\overrightarrow a | + |\overrightarrow b | + |\overrightarrow c |$$ এর মান হবে ঃ

অপেক্ষা $$f(x) = {\sin ^{ - 1}}\left( {{{{x^2} - 3x + 2} \over {{x^2} + 2x + 7}}} \right)$$ এর সংজ্ঞার অঞ্চল হল ঃ

$$n \in N$$ এর জন্য, ধরি $$\alpha ,\beta (\alpha > \beta )$$, সমীকরণ $${x^2} - x - 4 = 0$$ এর দুটি বীজ। যদি $${P_n} = {\alpha ^n} - {\beta ^n}$$, তবে $${{{P_{15}}{P_{16}} - {P_{14}}{P_{16}} - P_{15}^2 + {P_{14}}{P_{15}}} \over {{P_{13}}{P_{14}}}}$$ এর মান হবে ____________ ।

ধরি $$x = \left[ {\matrix{ 1 \cr 1 \cr 1 \cr } } \right]$$ এবং $$A = \left[ {\matrix{ { - 1} & 2 & 3 \cr 0 & 1 & 6 \cr 0 & 0 & { - 1} \cr } } \right]$$ । যেখানে $$k \in N$$, যদি $$X'{A^k}X = 33$$ হয়, তবে $$k$$ এর মান হবে ____________ ।

$$1012$$ এবং $$23421$$ এর মধ্যে কতগুলি স্বাভাবিক সংখ্যা গঠন করা যাবে $$2,3,4,5,6$$ অঙ্কগুলি দ্বারা, যেখানে একই অঙ্ক একাধিকবার ব্যবহার করা যাবে না এবং $$55$$ দ্বারা বিভাজ্য তার সংখ্যা হবে ____________ ।

যদি $$[t]$$ সর্বোচ্চ অখণ্ড সংখ্যা $$ \le t$$, তবে অপেক্ষক $$f(x) = 4|2x + 3| + 9\left[ {x + {1 \over 2}} \right] - 12[x + 20]$$, তবে $$( - 20,20)$$ এর মধ্যে কতগুলি বিন্দু পাতিয়া যাবে তাহা অন্তরকলনযোগ্য হবে না তার সংখ্যা হবে __________ ।

ধরি বৃত্ত $${(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = {{169} \over 4}$$ এর যেকোনো একটি জ্যা $$AB$$ এর দৈর্ঘ্য $$12$$ । $$A$$ এবং $$B$$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে $$P$$ বিন্দুতে ছেদ করে, তবে $$P$$ বিন্দু থেকে $$AB$$ জ্যা এর দূরত্বের $$5$$ গুণের মান হবে ___________ ।

ধরি দুটি ভেক্টর $$\overrightarrow a $$ এবং $$\overrightarrow b $$ যেখানে $$|\overrightarrow a + \overrightarrow b {|^2} = |\overrightarrow a {|^2} + 2|\overrightarrow b {|^2},\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3$$ এবং $$|\overrightarrow a \times \overrightarrow b {|^2} = 75$$ । তবে $$|\overrightarrow a {|^2}$$ এর মান হবে ____________ ।

ধরি $$S = \{ (x,y) \in N \times N:9{(x - 3)^2} + 16{(y - 4)^2} \le 144\} $$ এবং $$T = \{ (x,y) \in R \times R:{(x - 7)^2} + {(y - 4)^2} \le 36\} $$ তবে $$n(S \cap T)$$ এর মান _____________ ।