$$\int\limits_0^\pi {{{{e^{\cos x}}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {\left( {1 + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{e^{\cos x}} + {e^{ - \cos x}}} \right)}}} \,\,dx$$ এর মান :

ধরি f : N → R একটি অপেক্ষক যাহাতে $$f\left( {x + y} \right) = 2f\left( x \right)f\left( y \right),x,y \in N$$ পূর্ণচ্ছেদ যদি $$f(1) = 2$$ হয়, তবে $$\alpha $$ -এর যে মানের জন্য $$\sum\limits_{k = 1}^{10} {f\left( {\alpha + k} \right)} = {{512} \over 3}\left( {{2^{20}} - 1} \right)$$
সিদ্ধ হয়, তা হল :

ধরি A একটি $$3 \times 3$$ বাস্তব ম্যাট্রিক্স যাতে $$A\left( {\matrix{ 1 \cr 1 \cr 0 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 1 \cr 1 \cr 0 \cr } } \right),A\left( {\matrix{ 1 \cr 0 \cr 1 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ { - 1} \cr 0 \cr 1 \cr } } \right)$$ এবং $$A\left( {\matrix{ 0 \cr 0 \cr 1 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ 1 \cr 1 \cr 2 \cr } } \right)$$

যদি $$X = {\left( {{x_{1,}}{x_2},{x_3}} \right)^T}$$ এবং I একটি 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $$\left( {A - 2I} \right)X = \left( {\matrix{ 4 \cr 1 \cr 1 \cr } } \right)$$ এর

ধরি $$f:R \to R$$ নিম্নলিখিত ভাবে সংজ্ঞাত
$$f\left( x \right) = {x^3} + x - 5$$.
যদি $$g(x)$$ একটি অপেক্ষক যাতে $$f(g(x)) = x,\forall 'x' \in R$$ হয়, তবে $$g'(63)$$ এর মান _______ .

যদি $${1 \over {2 \cdot {3^{10}}}} + {1 \over {{2^2} \cdot {3^9}}} + ... + {1 \over {{2^{10}} \cdot 3}} = {K \over {{2^{10}} \cdot {3^{10}}}}$$ হয়, তবে K কে 6 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে :

ধরি $$f(x)$$ একটি বহুপদী রাশিমালার অপেক্ষক যাতে
$$f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right) = {x^5} + 64$$
তবে, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,{{f(x)} \over {x - 1}}$$ এর মান হল :

ধরি $${E_1}$$ এবং $${E_2}$$ দুটি ঘটনার জন্য $$P\left( {{E_1}\left| {{E_2}} \right.} \right) = {1 \over 2},\,P\left( {{E_2}\left| {{E_1}} \right.} \right) = {3 \over 4}$$ এবং $$P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right) = {1 \over 8}$$ হয়, তবে :

ধরি $$A = \left[ {\matrix{ 0 & { - 2} \cr 2 & 0 \cr } } \right]$$, যদি M এবং N দুটি ম্যাট্রিক্স নিম্নলিখিত ভাবে দেওয়া থাকে

$$M = \sum\limits_{k = 1}^{10} {{A^{2k}}} $$ এবং $$N = \sum\limits_{k = 1}^{10} {{A^{2k - 1}}} $$,

তবে $$M{N^2}$$ হল :

ধরি $$g:(0,\infty ) \to R$$ একটি অন্তরকলন যোগ্য অপেক্ষক যাতে

$$\mathop \smallint \nolimits^{} \left( {{{x(\cos x - \sin x)} \over {{e^x} + 1}} + {{g(x)\left( {{e^x} + 1 - x{e^x}} \right)} \over {{{({e^x} + 1)}^2}}}} \right)dx = {{x\,g(x)} \over {{e^x} + 1}} + c$$, $$\forall \,x > 0$$,

যেখানে c একটি ধ্রুবক, তবে :

ধরি $$f:R \to R$$ এবং $$g:R \to R$$ দুটি অপেক্ষক এর সংজ্ঞা হল

$$f(x) = {\log _e}({x^2} + 1) - {e^{ - x}} + 1$$

এবং $$g(x) = {{1 - 2{e^{2x}}} \over {{e^x}}}$$

তবে $$\alpha $$ -এর কোন বিস্তারে $$f\left( {g\left( {{{{{(\alpha - 1)}^2}} \over 3}} \right)} \right) > f\left( {g\left( {\alpha - {5 \over 3}} \right)} \right)$$ সিদ্ধ হয় ?

ধরা যাক $$\vec a = {a_1}\hat i + {a_2}\hat j + {a_3}\hat k\,\,\left( {{a_i} > 0,\,i = 1,\,2,\,3} \right)$$ ভেক্টরটি OX, OY এবং OZ অক্ষের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। $${\vec a}$$ এর $$3\hat i + 4\hat j$$ এর ওপর অভিক্ষেপ হল 7 । ধরি $$\mathop a\limits^ \to $$ কে $${90^ \circ }$$ কোণে ঘুরিয়ে $$\mathop b\limits^ \to $$ পাওয়া যায়। যদি $$\mathop a\limits^ \to ,\,\mathop b\limits^ \to $$ এবং x -অক্ষ একই সমতলে থাকে, তবে $$3\hat i + 4\hat j$$ -এর ওপর $$\mathop b\limits^ \to $$ -এর অভিক্ষেপ হল :

ধরি $$(x + 1)y' - y = {e^{3x}}{(x + 1)^2}$$, $$y(0) = {1 \over 3}$$, অবকল সমীকরণের সমাধান হল $$y = y(x)$$। তবে $$y = y(x)$$ বক্রের জন্য $$x = - {4 \over 3}$$ বিন্দুটি

যদি $${y^2}dx + ({x^2} - xy + {y^2})dy = 0$$ অবকল সমীকরণের সমাধান বক্রটি $$y = \sqrt 3 x$$ রেখাকে $$(\alpha ,\sqrt 3 \alpha )$$ বিন্দুতে ছেদ করে, তবে $${\log _e}(\sqrt 3 \alpha )$$ -এর মান হল :

ধরি $$x = 2t$$, $$y = {{{t^2}} \over 3}$$ একটি কণিক । ধরি এই কণিকের নাভি S, এবং B বিন্দুটি হল কণিকাটির অক্ষের উপর এমন একটি বিন্দু যাতে $$SA \bot BA$$ হয়, যেখানে A কণিকের উপর একটি সাধারণ বিন্দু। যদি SAB ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের কোটি k হয়, তবে $$\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} k$$ এর মান :

ধরা যাক জটিল সমতলে অবস্থিত একটি বৃত্ত C, $${z_1} = 3 + 4i,\,{z_2} = 4 + 3i$$ এবং $${z_3} = 5i$$ বিন্দুগামী। যদি $$z( \ne {z_1})$$ জটিল রাশিটি C এর ওপর একটি বিন্দু হয় যাতে $$z{z_1}$$ রেখাটি $${z_2}{z_3}$$ এর সাথে লম্ব, তবে $$arg(z)$$ হল :

3 -অঙ্কের বিজোড় সংখ্যাগুলি বিবেচনা কর যাদের অঙ্ক গুলির যোগফল 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, এরুপ 3 -অঙ্কের মোট সংখ্যা হল _______ .

ধরি $${\vec a}$$ এবং $${\vec b}$$ ভেক্টরের মধ্যে কোণ $$\theta $$, যেখানে $$|\vec a| = 4$$, $$|\vec b| = 3$$ এবং $$\theta \in \left( {{\pi \over 4},{\pi \over 3}} \right)$$ পূর্ণচ্ছেদ তবে $${\left| {\left( {\vec a - \vec b} \right) \times \left( {\vec a + \vec b} \right)} \right|^2} + 4{\left( {\vec a\,.\,\vec b} \right)^2}$$ সমান _________ .

ধর P, Q বিন্দুর ভূজগুলি $$2{x^2} - rx + p = 0$$ এর বীজ এবং কোটিগুলি এবং $${x^2} - sx - q = 0$$ এর বীজ। PQ -কে ব্যাস হিসাবে গঠিত বৃত্ত
$$2({x^2} + {y^2}) - 11x - 14y - 22 = 0$$ হলে $$2r + s - 2q + p$$ এর মান হবে ________ .

ধরি $$f:R \to R$$ অপেক্ষকের সংজ্ঞা হল $$f(x) = {\left( {2\left( {1 - {{{x^{25}}} \over 2}} \right)(2 + {x^{25}})} \right)^{{1 \over {50}}}}$$

যদি $$g(x) = f(f(f(x))) + f(f(x))$$

হয়, তবে $$g\left( 1 \right)$$ এর থেকে ছোটো বা সমান সর্বোচ্চ পূর্ণসংখ্যা হল ________ .

ধরি A একটি $$3 \times 3$$ ম্যাট্রিক্স যার পদগুলি $$\left\{ { - 1,\,0,\,1} \right\}$$ এই সেট হতে নেওয়া। এই প্রকার ম্যাট্রিক্স A -এর সংখ্যা যাদের পদগুলির যোগফল 5 হল ________ .