माना $$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$$. वर्धमान धनात्मक संख्याओं की एक G. P. है। माना इसके छठे और आठवें पदों का योग 2 है तथा इसके तीसरे और पाँचवें पदों का गुणनफल $$\frac{1}{9}$$ है। तो $$6\left(a_{2}+a_{4}\right)\left(a_{4}+a_{6}\right)$$ बराबर है

माना $$|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3$$ है तथा सदिशों $$\vec{a}$$ और $$\vec{b}$$ के बीच का कोण $$\frac{\pi}{4}$$ है। तो $$|(\vec{a}+2 \vec{b}) \times(2 \vec{a}-3 \vec{b})|^{2}$$ बराबर है

शब्द MONDAY के सभी अक्षरों के प्रयोग से सारे शब्द अर्थपूर्ण या अर्थहीन, बनाए गए हैं। इन शब्दों को शब्दकोश के अनुसार क्रमांक संख्या के साथ लिखा गया है। शब्द MONDAY की क्रमांक संख्या है

माना $$S=\left\{z \in \mathbb{C}: \bar{z}=i\left(z^{2}+\operatorname{Re}(\bar{z})\right)\right\}$$ है । तो $$\sum_\limits{z \in \mathrm{S}}|z|^{2}$$ बराबर है

यदि $$\lim_\limits{x \rightarrow 0} \frac{e^{a x}-\cos (b x)-\frac{c x e^{-c x}}{2}}{1-\cos (2 x)}=17$$ है, तो $$5 a^{2}+b^{2}$$ बराबर है

रेखा $$\frac{x+3}{-3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{5}$$, के सहतलीय रेखा का समीकरण है

$$\left(2 x^{3}-\frac{1}{3 x^{2}}\right)^{5}$$ के प्रसार में $$x^{5}$$ का गुणांक है

माना समीकरण $$x^{2}-\sqrt{2} x+2=0$$ के मूल $$\alpha, \beta$$ हैं। तो $$\alpha^{14}+\beta^{14}$$ बराबर है

माना रेखाओं $$15 x-y=82,6 x-5 y=-4$$ तथा $$9 x+4 y=17$$ द्वारा बने त्रिबुज का केन्द्रक $$(\alpha, \beta)$$ है। तो $$\alpha+2 \beta$$ तथा $$2 \alpha-\beta$$ किस समीकरण के मूल हैं ?

यदि समीकरण निकाय

$$2 x+y-z=5$$

$$2 x-5 y+\lambda z=\mu$$

$$x+2 y-5 z=7$$

के अनंत हल हैं, तो $$(\lambda+\mu)^{2}+(\lambda-\mu)^{2}$$ बराबर है

क्षेत्र $$\left\{(x, y): x^{2} \leq y \leq\left|x^{2}-4\right|, y \geq 1\right\}$$ का क्षेत्रफल है

$$\frac{e^{-\frac{\pi}{4}}+\int_\limits{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{-x} \tan ^{50} x d x}{\int_\limits{0}^{\frac{\pi}{4}} e^{-x}\left(\tan ^{49} x+\tan ^{51} x\right) d x}$$ का मान है

$$f(x)=4 \sin ^{-1}\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\right)$$ का परिसर है

माना एक त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ के लिए,

$$\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k} \\ & \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k} \\ & \overrightarrow{\mathrm{CA}}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+\delta \hat{k} \end{aligned}$$

है। यदि $$\delta > 0$$ है तथा त्रिभुज $$\mathrm{ABC}$$ का क्षेत्रफल $$5 \sqrt{6}$$ है, तो $$\overrightarrow{C B} \cdot \overrightarrow{C A}$$ बराबर है

छात्रों के अंकों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 50 तथा 12 ज्ञात किए गए। बाद में यह देखा गया कि दो छात्रों के अंक 20 तथा 25 गलती से क्रमशः 45 तथा 50 पढ़े गए थे। तो सही प्रसरण है _________.

माना $$\mathrm{A}=\{-4,-3,-2,0,1,3,4\}$$ है तथा $$\mathrm{A}$$ पर एक संबंध $$\mathrm{R}=\left\{(a, b) \in \mathrm{A} \times \mathrm{A}: b=|a|\right.$$ या $$\left.b^{2}=a+1\right\}$$ है। तो संबंध $$\mathrm{R}$$ में कम से कम कितने अवयव जोडे जांए, जिससे कि यह स्वतुल्य तथा सममित हो जाए ? ____________

माना $$f_{n}=\int_\limits{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sum_\limits{k=1}^{n} \sin ^{k-1} x\right)\left(\sum_\limits{k=1}^{n}(2 k-1) \sin ^{k-1} x\right) \cos x d x, n \in \mathbb{N}$$ है। तो $$f_{21}-f_{20}$$ बराबर है ____________.

$$7^{103}$$ को $$17$$ से विभाजित करने पर शेषफल है _________

माना $$f(x)=\sum_\limits{k=1}^{10} k x^{k}, x \in \mathbb{R}$$ है। यदि $$2 f(2)+f^{\prime}(2)=119(2)^{\mathrm{n}}+1$$ है, तो $$\mathrm{n}$$ बराबर है __________

$$x \in(-1,1]$$ के लिए, समीकरण $$\sin ^{-1} x=2 \tan ^{-1} x$$ के हलों की संख्या है ____________.

यदि अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}+\frac{4 x}{\left(x^{2}-1\right)} y=\frac{x+2}{\left(x^{2}-1\right)^{\frac{5}{2}}}, x > 1$$ का हल $$y=y(x)$$ है तथा $$y(2)=\frac{2}{9} \log _{e}(2+\sqrt{3})$$ और $$y(\sqrt{2})=\alpha \log _{e}(\sqrt{\alpha}+\beta)+\beta-\sqrt{\gamma}, \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$$ हैं, तो $$\alpha \beta \gamma$$ बराबर है _________

माना $$[\alpha]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq \alpha$$ है। तो $$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\ldots+[\sqrt{120}]$$ बराबर है ____________.

अंकों $$1,2,3,4,5$$ के प्रयोग से, पुनरावृत्ति के साथ, बनाई जा सकने वाली $$6$$ से विभाज्य $$3$$ अंकों की संख्याओं की संख्या है ___________.