माना $$f(x)=\frac{x-1}{x+1}, x \in \mathbf{R}-\{0,-1,1\}$$ है। यदि $$f^{\mathrm{n}+1}(x)=f\left(f^{\mathrm{n}}(x)\right)$$, सभी $$\mathrm{n} \in \mathbf{N}$$ के लिए है, तो $$f^{6}(6)+f^{7}(7)$$ बराबर है :

माना $$\mathrm{A}=\left\{z \in \mathbf{C}:\left|\frac{z+1}{z-1}\right|<1\right\}$$

तथा $$\mathrm{B}=\left\{z \in \mathbf{C}: \arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{2 \pi}{3}\right\}$$.

हैं। तो $$\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$$ :

क्रमित युग्म $$(\mathrm{a}, \mathrm{b})$$, जिसके लिए रैखिक समीकरण निकाय

$$3 x-2 y+z=b$$

$$5 x-8 y+9 z=3$$

$$2 x+y+a z=-1$$

का कोई हल नहीं है, है :

$$(2021)^{2023}$$ को 7 से विभाजित करने पर शेषफल है :

$$ \lim\limits_{x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sin \left(\cos ^{-1} x\right)-x}{1-\tan \left(\cos ^{-1} x\right)}$$ बराबर है :

माना दो वास्तविक मान फलन $$f,\,g:R \to R$$

$$f(x) = \left\{ {\matrix{ { - |x + 3|} & , & {x < 0} \cr {{e^x}} & , & {x \ge 0} \cr } } \right.$$ तथा $$g(x) = \left\{ {\matrix{ {{x^2} + {k_1}x} & , & {x < 0} \cr {4x + {k_2}} & , & {x \ge 0} \cr } } \right.$$

द्वारा परिभाषित हैं, जहाँ $$\mathrm{k}_{1}$$ तथा $$\mathrm{k}_{2}$$ वास्तविक अचर हैं। यदि $$x=0$$ पर $$(gof)$$ अवकलनीय है, तो $$(gof)(-4)+(gof)(4)$$ बराबर है :

फलन $$f(x)=\left|3 x-x^{2}+2\right|-x$$ के अंतराल $$[-1,2]$$ में निरपेक्ष न्यूनतम तथा निरपेक्ष उच्चतम मानों का योग है :

वक्र $$y=\left|x^{2}-9\right|$$ तथा रेखा $$y=3$$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :

माना $$\mathrm{R}$$ बिंदु $$(3,7)$$ है तथा माना रेखा $$x+y=5$$ पर दो बिंदु $$\mathrm{P}$$ तथा $$\mathrm{Q}$$ इस प्रकार हैं कि $$\mathrm{PQR}$$ एक समबाहु त्रिभुज है। तो $$\triangle \mathrm{PQR}$$ का क्षेत्रफल है :

यदि दो रेखाएँ $$l_{1}: \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}, z=2$$ तथा $$l_{2}: \frac{x-1}{1}=\frac{2 y+3}{\alpha}=\frac{z+5}{2}$$ लंबवत है, तो रेखा $$l_{2}$$ तथा $$l_{3}: \frac{1-x}{3}=\frac{2 y-1}{-4}=\frac{z}{4}$$ के बीच एक कोण है :

संख्याओं $$a, b, 8,5,10$$ का माध्य 6 है तथा इनका प्रसरण $$6.8$$ है। यदि इन संख्याओं का माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन M है, तो $$25 \,\mathrm{M}$$ बराबर है :

माना $$f(x)=2 \cos ^{-1} x+4 \cot ^{-1} x-3 x^{2}-2 x+10, x \in[-1,1]$$ है। यदि फलन $$f$$ का परिसर $$[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$$ है, तो $$4 a-b$$ बराबर है :

समीकरण $$x^{4}-3 x^{3}-2 x^{2}+3 x+1=0$$ के सभी मूलों के घनों का योग है ____________ |

एक कक्षा में दस लड़के $$\mathrm{B}_{1}, \mathrm{~B}_{2}, \ldots, \mathrm{B}_{10}$$ तथा पाँच लड़कियाँ $$\mathrm{G}_{1}, \mathrm{G}_{2}, \ldots, \mathrm{G}_{5}$$ हैं। तो तीन लड़कों तथा तीन लड़कियों के समूह, जिनमें $$B_{1}$$ तथा $$B_{2}$$ दोनों एक साथ सदस्य न हो, बनाने के तरीकों की संख्या है ___________ |

माना $$f(x)=\max \{|x+1|,|x+2|, \ldots,|x+5|\}$$ है। तो $$\int\limits_{-6}^{0} f(x) \mathrm{d} x$$ बराबर है __________ |

माना अवकल समीकरण $$\left(4+x^{2}\right) \mathrm{d} y-2 x\left(x^{2}+3 y+4\right) \mathrm{d} x=0$$ का हल वक्र $$y=y(x)$$ मूल बिंदु से होकर जाता है। तो $$y(2)$$ बराबर है _________।

यदि $$\sin ^{2}\left(10^{\circ}\right) \sin \left(20^{\circ}\right) \sin \left(40^{\circ}\right) \sin \left(50^{\circ}\right) \sin \left(70^{\circ}\right)=\alpha-\frac{1}{16} \sin \left(10^{\circ}\right)$$ है, तो $$16+\alpha^{-1}$$ बराबर है __________ |

माना $$\mathrm{A}=\{\mathrm{n} \in \mathbf{N}: \mathrm{H} . \mathrm{C.F} .(\mathrm{n}, 45)=1$$ है } तथा

माना $$B=\{2 \mathrm{k}: \mathrm{k} \in\{1,2, \ldots ., 100\}\}$$ है। तो $$\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$$ के सभी अवयवों का योग है ___________ |

समाकलन $$\frac{48}{\pi^{4}} \int\limits_{0}^{\pi}\left(\frac{3 \pi x^{2}}{2}-x^{3}\right) \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$$ का मान बराबर है __________ |

माना $$\mathrm{A}=\sum\limits_{i=1}^{10} \sum\limits_{j=1}^{10} \min \{i, j\}$$ तथा $$\mathrm{B}=\sum\limits_{i=1}^{10} \sum\limits_{j=1}^{10} \max \{i, j\}$$ हैं। तो $$\mathrm{A}+\mathrm{B}$$ बराबर है __________ |

माना $$S=(0,2 \pi)-\left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}\right\}$$ है। माना अवकल समीकरण $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{1+\sin 2 x}, y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$$ का हल वक्र $$y=y(x), x \in S$$ है। यदि वक्र $$y=y(x)$$ के वक्र $$y=\sqrt{2} \sin x$$ से सभी प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुजों का योग $$\frac{\mathrm{k} \pi}{12}$$ है, तो $$\mathrm{k}$$ बराबर है _____________ |