माना $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ तथा $$g: \mathbb{R}-\{1,-1\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-1$$ तथा $$g(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}$$ द्वारा परिभाषित हैं। तो फलन fog

यदि समीकरण निकाय $$\alpha x+y+z=5, x+2 y+3 z=4, x+3 y+5 z=\beta$$ के अनंत हल हैं, तो क्रमित युग्म $$(\alpha, \beta)$$ बराबर है-

$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$$ बराबर है-

माना $$f(x)=\min \{1,1+x \sin x\}, 0 \leq x \leq 2 \pi$$ है । यदि उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ $$f$$ अवकलनीय नहीं है, $$m$$ है तथा उन बिंदुओं की संख्या, जहाँ $$f$$ संतत नहीं है, $$n$$ है, तो क्रमित युग्म $$(m, n)$$ बराबर है-

भुजाओं $$2 x, 4 x$$ तथा $$5 x$$ के एक धनाभ तथा त्रिज्या $$r$$ के एक बंद गोलार्ध का विचार कीजिए। यदि उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग एक अचर $$k$$ है, तो उनके आयतन का योग अधिकतम होने के लिए अनुपात $$x: r$$ है-

वक्रों $$y^{2}=8 x$$ तथा $$y^{2}=16(3-x)$$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

यदि $$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} d x=g(x)+c, g(1)=0$$ हैं, तो $$g\left(\frac{1}{2}\right)$$ बराबर है-

यदि अवकल समीकरण $$x \frac{d y}{d x}+2 y=x e^{x}, \,y(1)=0$$ का हल $$y=y(x)$$ है, तो फलन $$z(x)=x^{2} y(x)-e^{x}, x \in \mathbb{R}$$ का स्थानीय अधिकतम मान है-

यदि अवकल समीकरण $$\frac{d y}{d x}+e^{x}\left(x^{2}-2\right) y=\left(x^{2}-2 x\right)\left(x^{2}-2\right) e^{2 x}$$ का हल $$y(0)=0$$ को संतुष्ट करता है, तो $$y(2)$$ का मान है-

दीर्घवृत्त $$x^{2}+2 y^{2}=4$$ के बिंदुओं को बिंदु $$(4,3)$$ से मिलाने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु का बिंदुपथ एक दीर्घवृत है, जिसकी उत्केन्द्रता है-

माना तीन सदिश $$\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$$ तथा $$\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$$ है | माना $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ के समतल में एक सदिश $$\vec{v}$$ का $$\vec{c}$$ पर प्रक्षेप $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$ है | यदि $$\vec{v} \cdot \hat{j}=7$$ है, तो $$\vec{v} \cdot(\hat{i}+\hat{k})$$ बराबर है-

50 प्रेक्षणों के माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 15 तथा 2 हैं । यह पाया गया कि एक गलत प्रेक्षण लिया गया था तथा सही और गलत प्रेक्षणों का योग 70 है। यदि सही माध्य 16 है, तो सही प्रसरण बराबर है-

$$16 \sin \left(20^{\circ}\right) \sin \left(40^{\circ}\right) \sin \left(80^{\circ}\right)$$ बराबर है-

दि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन मुख्यमान लेते हैं, तो $$\cos ^{-1}\left(\frac{3}{10} \cos \left(\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\right)+\frac{2}{5} \sin \left(\tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)$$ बराबर है-

माना $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x+y)=2^{x} f(y)+4^{y} f(x), \forall x,\, y \in \mathbb{R}$$ को संतुष्ट करता है। यदि $$f(2)=3$$ है, तो $$14 \cdot \frac{f^{\prime}(4)}{f^{\prime}(2)}$$ बराबर है __________ |

माना दो वास्तविक संख्याओं $$p$$ तथा $$q$$ के लिए $$p+q=3$$ तथा $$p^{4}+q^{4}=369$$ हैं । तो $$\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\right)^{-2}$$ बराबर है _____________ |

यदि $$z^{2}+z+1=0, z \in \mathbb{C}$$ हैं, तो $$\left|\sum\limits_{n=1}^{15}\left(z^{n}+(-1)^{n} \frac{1}{z^{n}}\right)^{2}\right|$$ बराबर है _____________ |

माना $$X=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], Y=\alpha I+\beta X+\gamma X^{2}$$ तथा $$Z=\alpha^{2} I-\alpha \beta X+\left(\beta^{2}-\alpha \gamma\right) X^{2}, \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$$ हैं। यदि $$Y^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} 1 / 5 & -2 / 5 & 1 / 5 \\ 0 & 1 / 5 & -2 / 5 \\ 0 & 0 & 1 / 5 \end{array}\right]$$ है, तो $$(\alpha-\beta+\gamma)^{2}$$ बराबर है ______________ |

तीन अंकों की संख्याओं, जिनका 36 के साथ महत्तम सार्व भाजक 2 है, की कुल संख्या है ___________ |

यदि $$a_{1}(>0), a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$$ एक G.P. में हैं, $$a_{2}+a_{4}=2 a_{3}+1$$ तथा $$3 a_{2}+a_{3}=2 a_{4}$$ हैं, तो $$a_{2}+a_{4}+2 a_{5}$$ बराबर है ____________ |

समाकलन $$\frac{24}{\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{\left(2-x^{2}\right) d x}{\left(2+x^{2}\right) \sqrt{4+x^{4}}}$$ बराबर है- ____________ |

यदि एक याहच्छया चुनी गई 6 अंकों की संख्या, जो केवल अंको 1 तथा 8 के प्रयोग से बनाई गई है, के 21 का गुणज होने की प्रायिकता $$p$$ है, तो $$96\, p$$ बराबर है __________ |