माना $$\mathrm{A}=\{z \in \mathbf{C}: 1 \leqslant|z-(1+i)| \leqslant 2\}$$

तथा $$\mathrm{B}=\{z \in A:|z-(1-i)|=1\}$$ हैं। तो $$\mathrm{B}$$

$$3^{2022}$$ को 5 से विभाजित करने पर शेषफल है :

गोले के आकार के एक गुब्बारे में हवा भरने के दौरान उसके पृष्ठ का क्षेत्रफल एक स्थिर दर से बढ़ता है। यदि आरम्भ में गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है तथा 5 सैकंड पश्चात् यह 7 इकाई हो जाती है, तो 9 सैकंड पश्चात् इसकी त्रिज्या होगी :

थैले $$\mathrm{A}$$ में 2 सफेद, 1 काली तथा 3 लाल गेंद है तथा थैले $$\mathrm{B}$$ में 3 काली, 2 लाल तथा $$\mathrm{n}$$ सफेद गेंद हैं। एक थैला यादृच्छया चुना जाता है तथा इसमें से यादृच्छया निकाली गई दो गेंदों में एक लाल तथा एक काली पायी जाती है। यदि दोनों गेंदों के थैले $$\mathrm{A}$$ में से निकलने की प्रायिकता $$\frac{6}{11}$$ है, तो $$\mathrm{n}$$ बराबर है _______________ |

$$\alpha$$ के मानों, जिनके लिए समीकरण निकाय

$$x+y+z=\alpha$$

$$\alpha x+2 \alpha y+3 z=-1$$

$$x+3 \alpha y+5 z=4$$

असंगत है, की संख्या है :

यदि समीकरण $$3 x^{2}+\lambda x-1=0$$ के मूल $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ के व्युत्क्रमों के वर्गों का योगफल 15 है, तो $$6\left(\alpha^{3}+\beta^{3}\right)^{2}$$ बराबर है:

$$\mathrm{k}$$ के सभी मानों, जिनके लिए $$\left(\tan ^{-1} x\right)^{3}+\left(\cot ^{-1} x\right)^{3}=\mathrm{k} \pi^{3}, x \in \mathbf{R}$$ है, का समुच्चय कौन-सा अंतराल है ?

फलन $$f(x)=4 \log _{\mathrm{e}}(x-1)-2 x^{2}+4 x+5, x>1$$, के लिए निम्न में से कौन-सा एक सही नहीं है ?

$$ \text { अंतराल }[0,1] \text { में फलन } f(x)=\left|2 x^{2}+3 x-2\right|+\sin x \cos x $$ के निरपेक्ष उच्चतम तथा निरपेक्ष निम्नतम मानों का योगफल है :

यदि $$\left\{\mathrm{a}_{i}\right\}_{i=1}^{\mathrm{n}}$$, जहाँ $$\mathrm{n}$$ एक सम पूर्णांक है, एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका सार्व अंतर 1 है, तथा $$\sum_{i=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{i}=192$$, $$\sum_{i=1}^{\mathrm{n} / 2} \mathrm{a}_{2 i}=120$$ हैं, तो $$\mathrm{n}$$ बराबर है :

$$y \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=2 x+y^{3}(y+1) \mathrm{e}^{y}, x(1)=0$$ का हल $$x=x(y)$$ है, तो $$x(\mathrm{e})$$ बराबर है :

माना $$\hat{\mathrm{a}}, \hat{\mathrm{b}}$$ इकाई सदिश हैं। यदि एक सदिश $$\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ इस प्रकार है कि $$\hat{\mathrm{a}}$$ तथा $$\overrightarrow{\mathrm{c}}$$ के बीच का कोण $$\frac{\pi}{12}$$ है तथा $$\hat{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}+2(\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \hat{\mathrm{a}})$$ है, तो $$|6 \overrightarrow{\mathrm{c}}|^{2}$$ बराबर है :

फलन $$f(x)=\frac{\cos ^{-1}\left(\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-9}\right)}{\log _{\mathrm{e}}\left(x^{2}-3 x+2\right)}$$ का प्रांत है :

एकैकी फलनों $$f:\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\} \rightarrow\{0,1,2, \ldots, 10\}$$, जिनके लिए $$2 f(\mathrm{a})-f(\mathrm{~b})+3 f(\mathrm{c})+f(\mathrm{~d})=0$$ है, की संख्या है ______________ |

एक परीक्षा में 5 बहु विकल्पी प्रश्न हैं। इनमें उत्तर के लिए 3 विकल्प हैं, जिनमें से ठीक एक सही है। प्रत्येक सही उत्तर के लिए 3 अंक है, प्रत्येक गलत उत्तर के लिए $$-2$$ अंक हैं तथा कोई भी उत्तर न देने पर 0 अंक है। तो उन तरीकों, जिनमें परीक्षा देने वाले एक छात्र को 5 अंक मिलते हैं, की संख्या है ____________ |

माना $$x y$$-समतल में एक निश्चित बिंदु $$\mathrm{A}\left(\frac{3}{\sqrt{\mathrm{a}}}, \sqrt{\mathrm{a}}\right), \mathrm{a}>0$$ है। $$y$$-अक्ष में $$\mathrm{A}$$ का प्रतिबिंब $$\mathrm{B}$$ तथा $$x$$-axis में $$\mathrm{B}$$ का प्रतिबिंब $$\mathrm{C}$$ है। यदि चतुर्थ चतुर्थांश में एक बिंदु $$\mathrm{D}(3 \cos \theta, \mathrm{a} \sin \theta)$$ के लिए $$\triangle \mathrm{ACD}$$ का अधिकतम क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है, तो $$\mathrm{a}$$ बराबर है ______________ |

माना एक रेखा जिसके दिक अनुपात $$1,-4,2$$ हैं रेखाओं $$\frac{x-7}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}$$ तथा $$\frac{x}{2}=\frac{y-7}{3}=\frac{z}{1}$$ को बिंदुओं $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ पर काटती है। तो $$(\mathrm{AB})^{2}$$ बराबर है ______________ |

उन बिंदुओं, जहाँ फलन

$$f(x) = \left\{ {\matrix{ {|2{x^2} - 3x - 7|} & \text{ यद} & {x \le 1} \,\text{है} \cr {[4{x^2} - 1]} & \text{ यद} & { - 1 < x < 1} \,\text{है} \cr {|x + 1| + |x - 2|} & \text{ यद} & {x \ge 1}\,\text{है,} \cr } } \right.$$

$$[\mathrm{t}]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leqslant \mathrm{t}$$ है, असंतत है, की संख्या है ______________ |

माना $$f(\theta ) = sin\theta + \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {(\sin \theta + t\cos \theta )f(t)dt} $$ $$\,$$है। तो $$\,$$ $$\left| {\int\limits_0^{\pi /2} {f(\theta )\,d\theta } } \right|$$ $$\,$$ का मान है _______________ |

माना $$\mathop {Max}\limits_{0\, \le x\, \le 2} \left\{ {{{9 - {x^2}} \over {5 - x}}} \right\} = \alpha $$ तथा $$\mathop {Min}\limits_{0\, \le x\, \le 2} \left\{ {{{9 - {x^2}} \over {5 - x}}} \right\} = \beta $$ $$\,$$हैं। यदि $$\,$$ $$\int\limits_{\beta - {8 \over 3}}^{2\alpha - 1} {Max\left\{ {{{9 - {x^2}} \over {5 - x}},x} \right\}dx = {\alpha _1} + {\alpha _2}{{\log }_e}\left( {{8 \over {15}}} \right)} $$ $$\,$$ है, तो $$\,$$ $${\alpha _1} + {\alpha _2}$$ $$\,$$ बराबर है _______________ |

माना वक्रों $$y=x^{3}$$ तथा $$y^{2}=x$$ द्वारा घिरा क्षेत्र $$S$$ है। वक्र $$y=2|x|$$, क्षेत्र $$S$$ को $$\mathrm{R}_{1}$$ तथा $$\mathrm{R}_{2}$$ क्षेत्रफल के दो क्षेत्रों में बाँटता है। यदि $$\max \left\{R_{1}, R_{2}\right\}=R_{2}$$ है, तो $$\frac{R_{2}}{R_{1}}$$ बराबर है ______________ |

यदि रेखाओं $$\overrightarrow{\mathbf{r}}=(-\hat{i}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\mathrm{a} \hat{j})$$ तथा $$\overrightarrow{\mathbf{r}}=(-\hat{j}+2 \hat{k})+\mu(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$$ के बीच न्यूनतम दूरी $$\sqrt{\frac{2}{3}}$$ है, तो $$a$$ का पूर्णांकीय मान बराबर है _____________ |