A एक स्थिर बिंदु (0, 6) है और B एक गतिमान बिंदु (2t, 0) है। M, AB का मध्य बिंदु है और AB का लम्बवत द्विखंडक y-अक्ष पर C पर मिलता है। MC के मध्य बिंदु P का स्थान वक्र है :

यदि $${({\sin ^{ - 1}}x)^2} - {({\cos ^{ - 1}}x)^2} = a$$; 0 < x < 1, a $$\ne$$ 0, तो 2x² $$-$$ 1 का मान है :

यदि मैट्रिक्स $$A = \left( {\matrix{ 0 & 2 \cr K & { - 1} \cr } } \right)$$ पूर्ती करता है $$A({A^3} + 3I) = 2I$$, तो K का मान है :

यदि $$S = \left\{ {z \in C:{{z - i} \over {z + 2i}} \in R} \right\}$$, तो :

माना y = y(x) डिफरेंशियल समीकरण

$${{dy} \over {dx}} = 2(y + 2\sin x - 5)x - 2\cos x$$ का समाधान है जिसमें y(0) = 7 है। तब y($$\pi$$) का मान है :

मान लें कि एक वक्र, y = f(x) बिंदु ($$-$$2, 2) से होकर गुजरता है और किसी भी बिंदु (x, f(x)) पर वक्र के स्पर्शरेखा की ढाल f(x) + xf'(x) = x² द्वारा दी गई है। तो :

अगर $$\alpha$$, $$\beta$$ x² + bx + c = 0 के विभिन्न मूल हैं, तो

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \beta } {{{e^{2({x^2} + bx + c)}} - 1 - 2({x^2} + bx + c)} \over {{{(x - \beta )}^2}}}$$ के बराबर होगा :

जब एक विशेष पक्षपाती पासा को घुमाया जाता है, एक विशेष मुख $${1 \over 6} - x$$ की संभावना से प्रकट होता है और इसका विपरीत मुख $${1 \over 6} + x$$ की संभावना से प्रकट होता है। सभी अन्य मुख $${1 \over 6}$$ की संभावना से प्रकट होते हैं। ध्यान दें कि किसी भी पासे में विपरीत मुखों का योग 7 होता है। अगर 0 < x < $${1 \over 6}$$, और संभावना, जब इस तरह का एक पासा दो बार घुमाया जाता है, कुल योग = 7 पाने की है $${13 \over 96}$$, तब x का मान है :

यदि x² + 9y² $$-$$ 4x + 3 = 0, x, y $$\in$$ R, तो x और y क्रमशः अंतरालों में होते हैं :

$$\int\limits_6^{16} {{{{{\log }_e}{x^2}} \over {{{\log }_e}{x^2} + {{\log }_e}({x^2} - 44x + 484)}}dx} $$ के बराबर है :

20 मीटर लंबाई के एक तार को दो टुकड़ों में काटा जाना है। एक टुकड़ा वर्ग बनाने के लिए और दूसरा नियमित हेक्सागन बनाने के लिए होगा। तब हेक्सागन के एक तरफ की लंबाई (मीटर में) इस प्रकार है कि वर्ग और हेक्सागन का संयुक्त क्षेत्रफल न्यूनतम है :

माना $$\overrightarrow a = \widehat i + 5\widehat j + \alpha \widehat k$$, $$\overrightarrow b = \widehat i + 3\widehat j + \beta \widehat k$$ और $$\overrightarrow c = - \widehat i + 2\widehat j - 3\widehat k$$ तीन वेक्टर हैं जैसे कि, $$\left| {\overrightarrow b \times \overrightarrow c } \right| = 5\sqrt 3 $$ और $${\overrightarrow a }$$ का $${\overrightarrow b }$$ के साथ लम्बवत है। तब $${\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$$ के मानों में सबसे बड़ा मान क्या है ____________।

समीकरण 3x⁴ + 4x³ $$-$$ 12x² + 4 = 0 के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या _____________ है।

यदि A = {x $$\in$$ R : |x $$-$$ 2| > 1},
B = {x $$\in$$ R : $$\sqrt {{x^2} - 3} $$ > 1},
C = {x $$\in$$ R : |x $$-$$ 4| $$\ge$$ 2} और Z सभी पूर्णांकों का सेट है, तब सेट (A $$\cap$$ B $$\cap$$ C)^c $$\cap$$ Z के उपसमूहों की संख्या ________________ है।

यदि $$\int {{{dx} \over {{{({x^2} + x + 1)}^2}}} = a{{\tan }^{ - 1}}\left( {{{2x + 1} \over {\sqrt 3 }}} \right) + b\left( {{{2x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}} \right) + C} $$, x > 0 जहाँ C इंटीग्रेशन का स्थिरांक है, तब $$9\left( {\sqrt 3 a + b} \right)$$ का मान _____________ होगा।

यदि रैखिक समीकरणों की प्रणाली

2x + y $$-$$ z = 3

x $$-$$ y $$-$$ z = $$\alpha$$

3x + 3y + $$\beta$$z = 3

का अनंत समाधान है, तब $$\alpha$$ + $$\beta$$ $$-$$ $$\alpha$$$$\beta$$ का मान _____________ है।

मान लीजिए कि n एक विषम प्राकृतिक संख्या है जिसका 1, 2, 3, 4, ......, n का विचलन 14 है। तब n के बराबर होगा _____________.

एक संख्या को पेलिंड्रोम कहा जाता है यदि वह पीछे की ओर पढ़ने पर भी वैसी ही दिखती है जैसे आगे से पढ़ने पर। उदाहरण के लिए 285582 एक छह अंकीय पेलिंड्रोम है। 55 से विभाज्य छह अंकीय पेलिंड्रोमों की संख्या __________ है।