$$\mathrm{R}$$ त्रिज्या के एक ठोस गोले के आवेश घनत्व $$\rho$$ को $$0 \leq \mathrm{r} \leq \mathrm{R}$$ के लिए $$\rho=\rho_{\mathrm{o}}(1-\mathrm{r} / \mathrm{R})$$ द्वारा प्रकट किया जाता है। गोले के बाहर विद्युत क्षेत्र होगा :

एक समतल ध्रुवित एकवर्णीय विद्युतचुम्बकीय तरंग निर्वात में $$z$$-दिशा के संगत इस तरह चल रही है कि किसी स्थानिक बिंदु $$z_{1}$$ पर समय $$\mathrm{t}=\mathrm{t}_{1}$$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य है। इसके समीप विद्युत क्षेत्र का अगला शून्य $$z_{2}$$ पर पाया जाता है। इस विद्युत चुम्बकीय तरंग की आवृत्ति होगी :

$$\mathrm{R}$$ त्रिज्या की एक स्थिर एवं बड़ी गोलाकार कुण्डली के केन्द्र पर अत्यधिक छोटी $$\mathrm{r}$$ त्रिज्या की एक गोलाकार कुण्डली रखी है। दोनों कुण्डलियाँ संकेन्द्री तथा एक ही समतल में हैं। बड़ी कुण्डली में $$\mathrm{I}$$ धारा बहती है, दोनों कुण्डलियों के उभयनिष्ठ व्यास से होकर जाने वाले अक्ष के सापेक्ष छोटी कुण्डली को एक एकसमान कोणीय वेग $$\omega$$ से घुमाया जाता है। घूर्णन शुरू होने के $$\mathrm{t}$$ समय उपरान्त छोटी कुण्डली में प्रेरित विद्युत वाहक बल की गणना करें :

$$4.5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}$$ भुजा के एक समबाहु त्रिभुज में $$1 \mathrm{~A}$$ की धारा प्रवाहित हो रही है। इस त्रिभुज के केन्द्र पर चुम्बकीय क्षेत्र का मान होगा :

दिये गये अंकक परिपथ के लिए सत्यमान सारिणी होगी :

एक समतल ध्रुवित प्रकाश किसी एक ध्रुवक जिसका पारित-अक्ष $$x$$-अक्ष से $$\theta$$ कोण बनाता है, पर आपतित होता है, जैसा चित्र में दिखाया गया है। कोण $$\theta$$ के चार विभित्र मानों, $$\theta=8^{\circ}, 38^{\circ}, 188^{\circ}$$ तथा $$218^{\circ}$$ पर तीव्रतायें बराबर पायी जाती हैं। ध्रुवण दिशा तथा $$x$$-अक्ष के बीच का कोण होगा :

क्षैतिज से $$\theta$$ कोण पर स्थित दो चिकनी समानांतर छड़ों, जिनके बीच की दूरी $$\mathrm{l}$$ है, के ऊपर $$\mathrm{m}$$ द्रव्यमान की ताँबे की एक छड़ गुरुत्व के अंतर्गत फिसलती है। छड़ों के निचले सिरों को एक प्रतिरोध $$\mathrm{R}$$ द्वारा जोड़ा गया है। समानांतर छड़ों के समतल के लम्बवत दिशा में एक एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र $$\mathrm{B}$$ है जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। तांबे के छड़ की सीमान्त चाल होगी :

एक संधारित्र $$\mathrm{C}_{1}=1.0 \mu \mathrm{F}$$ को एक स्विच (1) द्वारा बैटरी $$\mathrm{B}$$ से जोड़ कर $$\mathrm{V}=60 \mathrm{~V}$$ विभव तक आवेशित किया जाता है। अब $$\mathrm{C}_{1}$$ को बैटरी से वियोजित कर दिया जाता है तथा स्विच (2) के द्वारा दो अनावेशित संधारित्रों $$\mathrm{C}_{2}=3.0 \mu \mathrm{F}$$ तथा $$\mathrm{C}_{3}=6.0 \mu \mathrm{F}$$ के साथ एक परिपथ में जोड़ दिया जाता है जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। $$\mathrm{C}_{2}$$ तथा $$\mathrm{C}_{3}$$ पर अंतिम आवेशों का योग होगा :

चित्रानुसार, $$10 \mathrm{~cm}$$ भुजा वाले एक घन के ऊपर और नीचे वाले फलक पर $$10^{5} \mathrm{~N}$$ के बराबर बलों को विपरीत दिशा में लगाया जाता है जिससे ऊपरी फलक अपने समान्तर $$0.5 \mathrm{~cm}$$ से विस्थापित हो जाती है। यदि समान पदार्थ के दूसरे $$20 \mathrm{~cm}$$ भुजा वाले घन को बताये गये अवस्था में रखा जाये तो विस्थापन का मान होगा :

एक पतली छड़ $$\mathrm{MN}$$, जो कि ऊर्ध्वाधर समतल में स्थिर सिरे $$\mathrm{N}$$ के सापेक्ष घूमने के लिए स्वतंत्र है, को क्षैतिज स्थिति में रोका गया है। जब सिरे $$\mathrm{M}$$ को छोड़ा जाता है तो इस सिरे की चाल, जब छड़ क्षैतिज से $$\alpha$$ कोण बनाती है, समानुपाती होगी : (चित्र देखें)

$$\mathrm{L}$$ लम्बाई तथा $$8 \mathrm{~m}$$ द्रव्यमान का एक एकसमान पतली छड़ एक चिकने क्षैतिज मेज पर रखा है। दो बिन्दु द्रव्यमान $$\mathrm{m}$$ तथा $$2 \mathrm{~m}$$ उसी क्षैतिज समतल में छड़ के विपरीत तरफ से क्रमशः $$2 v$$ तथा $$v$$ चाल से आते हैं। दोनों द्रव्यमान संघट्ट के बाद छड़ के केन्द्र से क्रमशः $$\frac{\mathrm{L}}{3}$$ तथा $$\frac{\mathrm{L}}{6}$$ दूरी पर चिपक जाते हैं। संघट्ट के फलस्वरूप यदि छड़ अपने द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष घूमना शुरू कर देती है तो छड़ की कोणीय चाल होगी :

एक आदमी कार में स्थान $$\mathrm{Q}$$ से एक सीधी सड़क पर गति $$v$$ से जा रहा है। वह खेत के एक बिन्दु $$\mathrm{P}$$ पर, जो दिखाये गये चित्रानुसार सड़क से $$\mathrm{d}$$ दूरी पर है (बिंदु $$\mathrm{M}$$ ), पहुँचने का निश्चय करता है। कार की चाल खेत में, सड़क की चाल की आधी है। वह दूरी $$\mathrm{RM}$$ क्या होगी जिससे कि $$\mathrm{P}$$ तक पहुँचने का समय न्यूनतम है ?

किन्हीं दो अभिसारी लेन्सों से बने संयोग की, गोलीय दोष दूर करने के बाद, प्रभावी फोकस दूरी $$10 \mathrm{~cm}$$ है। दोनों लेन्सों के बीच की दूरी $$2 \mathrm{~cm}$$ है। दोनों लेन्सों की अलग-अलग फोकस दूरियां हैं :

क्षेत्रफल $$200 \mathrm{~cm}^{2}$$ तथा प्लेटों के बीच की दूरी $$1.5 \mathrm{~cm}$$, वाले एक समान्तर प्लेट संधारित्र को विद्युत वाहक बल $$\mathrm{V}$$ वाली एक बैटरी से जोड़ा गया है। यदि प्लेटों के बीच आकर्षण बल $$25 \times 10^{-6} \mathrm{~N}$$ हो तो, $$\mathrm{V}$$ का लगभग मान होगा :

$$ \left(\epsilon_{\mathrm{o}}=8.85 \times 10^{-12} \frac{\mathrm{C}^{2}}{\mathrm{~N}^{2} \mathrm{~m}^{2}}\right) $$

$$\mathrm{A}$$ अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल की एक कॉपर की छड़ से होकर $$\mathrm{I}$$ धारा बहती है। $$\mathrm{T}$$ तापमान पर यदि छड़ का आयतनी आवेश घनत्व $$\rho$$ हो तो आवेशों को $$\mathrm{d}$$ दूरी तय करने में कितना समय लगेगा ?

यदि सोनोमीटर के तार की लंबाई $$0.95 \mathrm{~m}$$ या $$1 \mathrm{~m}$$ हो तो जब एक स्वरित्र द्विभुज को सोनोमीटर के तनाव वाले तार के साथ बजाया जाता है तो $$5$$ विस्पंद प्रति सेकेण्ड सुनायी पड़ते हैं। स्वरित्र द्विभुज की आवृत्ति होगी :

नीचे दर्शाई हुई दो सरल आवर्त गतियाँ एक दूसरे के लम्बवत हैं। उनको संयुक्त करके लिसाजुस $$\mathrm{(Lissajous)}$$ चित्र बनाते हैं।

$$x(\mathrm{t})=\mathrm{A} \sin (\mathrm{at}+\delta)$$

$$y(\mathrm{t})=\mathrm{B} \sin (\mathrm{bt})$$

निम्न में से सही मेल की पहचान कीजिये।

कक्ष तापमान $$(300 \mathrm{~K})$$ पर हीलियम परमाणु के तापीय वेग का $$\mathrm{ms}^{-1}$$ में निकटतम मान होगा,

$$\left[\mathrm{k}_{\mathrm{B}}=1.4 \times 10^{-23} \mathrm{~J} / \mathrm{K} ; \mathrm{m}_{\mathrm{He}}=7 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\right]$$

जब $$\mathrm{r}$$ त्रिज्या का हवा का एक बुलबुला एक झील के निचले सतह से उठ कर ऊपरी सतह तक आता है, तो उसकी त्रिज्या बढ़ कर $$\frac{5 \mathrm{r}}{4}$$ हो जाती है। वायुमंडलीय दाब को $$10 \mathrm{~m}$$ ऊँचाई के जल स्तंभ के बराबर मानें, तो झील की गहराई का सत्रिकट मान होगा (पृष्ठ तनाव तथा तापमान का प्रभाव नगण्य है ) :

एक डिस्क अपने सममित अक्ष के परित: क्षैतिज समतल में $$3.5$$ चक्कर प्रति सेकेण्ड की स्थिर गति से घूर्णन कर रही है। घूर्णन अक्ष से $$1.25 \mathrm{~cm}$$ की दूरी पर रखा एक सिक्का डिस्क पर स्थिर रहता है। सिक्के और डिस्क के बीच में घर्षण गुणांक का मान होगा : (दिया है : $$\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ )

$$\mathrm{m}$$ द्रव्यमान का एक प्रोटॉन किसी अज्ञात द्रव्यमान के विरामावस्था में रखे हुए एक कण से प्रत्यास्थ संघट्ट करता है। संघट्ट के पश्चात्, प्रोटॉन और अज्ञात कण परस्पर $$90^{\circ}$$ का कोण बनाते हुए चले जाते हैं। अज्ञात कण का द्रव्यमान है :

प्लांक दूरी वह विशिष्ट दूरी है जिस पर क्वान्टम गुरुत्वीय प्रभाव महत्वपूर्ण होते हैं। इसका निर्धारण मूलभूत भौतिक राशियों $$G, h$$ तथा $$c$$ से हो सकता है। निम्न में से कौन सा सूत्र प्लांक दूरी को सही दिखाता है ?

$$30^{\circ}$$ कोण से झुके हुए एक घर्षणयुक्त समतल पर एक $$2 \mathrm{~kg}$$ द्रव्यमान का एक पिण्ड त्वरण $$3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ से नीचे की ओर फिसलता है। उस पिण्ड को इस समतल पर उसी त्वरण से ऊपर ले जाने के लिये बाह्य बल की आवश्यकता होगी : (दिया है $$\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$$ )

एक धातु के तार के दोनों सिरों के बीच एक स्थिर विभव लगाया जाता है। यदि तार की लम्बाई आधी तथा त्रिज्या दोगुनी कर दी जाये तो तार में उत्पत्र ऊष्मा दर :

म्यूऑन $$\mathrm{Muon}$$ $$\left(\mu^{-}\right)$$ एक ॠणात्मक आवेशित $$(|\mathrm{q}|=|\mathrm{e}|)$$ कण है जिसका द्रव्यमान $$\mathrm{m}_{\mu}=200 \mathrm{~m}_{\mathrm{e}}$$ है जहाँ $$\mathrm{m}_{\mathrm{e}}$$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान तथा $$\mathrm{e}$$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है। हाइड्रोजन जैसा परमाणु बनाने के लिए यदि म्यूऑन ऋणात्मक एक प्रोटॉन के साथ परिबद्ध होता है, तो सही कथन होंगें :

(A) म्यूऑन के कक्ष की त्रिज्या इलेक्ट्रॉन के कक्ष की त्रिज्या से $$200$$ गुना छोटी है।

(B) $$\mathrm{n}$$ वें कक्ष में $$\mu^{-}$$ की चाल, $$\mathrm{n}$$ वें कक्ष में इलेक्ट्रॉन की चाल की $$\frac{1}{200}$$ गुना होगी।

(C) म्यूऑनिक परमाणु की आयनन ऊर्जा, हाइड्रोजन परमाणु के आयनन ऊर्जा से $$200$$ गुना ज्यादा है।

(D) $$\mathrm{n}$$ वें कक्ष में म्यूऑन का संवेग, $$\mathrm{n}$$ वें कक्ष में इलेक्ट्रॉन के संवेग से $$200$$ गुना ज्यादा है।

एक स्थिर अवस्था का अस्थायी भारी नाभिक, दो नाभिकों में टूट जाता है जो $$8: 27$$ के वेग अनुपात से दूर जाते हैं। टूटे हुए नाभिकों की त्रिज्याओं (मानो वे गोलाकार हैं) का अनुपात होगा :

यदि एक प्रोटॉन एवं एक $$\alpha$$-कण की डि-ब्राग्ली तरंगदैर्ध्य बराबर हैं तो इस प्रोटॉन तथा $$\alpha$$-कण के वेगों का अनुपात होगा :