समीकरण $$\sqrt{x^{2}-4 x+3}+\sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{4 x^{2}-14 x+6}$$, के वास्तविक मूलों की संख्या है

एक थैले में 6 गेंद हैं। इसमें से याहच्छया दो गेंद निकाली जाती हैं तथा दोनों काली पायी जाती हैं। थैले में कम से कम 5 काली गेंद होने की प्रायिकता है :

यदि $$\sin ^{-1} \frac{\alpha}{17}+\cos ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{77}{36}=0,0 < \alpha < 13$$ है, तो $$\sin ^{-1}(\sin \alpha)+\cos ^{-1}(\cos \alpha)$$ बराबर है

यदि एक G.P. के चार धनात्मक क्रमागत पदों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 126 तथा 1296 हैं, तो ऐसी सभी G.P. के सार्व अनुपातों का योग है

रैखिक समीकरण निकाय

$$x+y+z=6$$

$$\alpha x+\beta y+7 z=3$$

$$x+2 y+3 z=14$$,

के लिए निम्न में कौन सा सत्य नहीं है ?

माना $$\mathrm{N} \times \mathbb{N}$$ पर एक संबंध $$\mathrm{R},(a, b), \mathrm{R}(c, d)$$ यदि और केवल यदि $$a d(b-c)=b c(a-d)$$ है, द्वारा परिभाषित है । तो $$\mathrm{R}$$ :

यदि फलन $$f(x)=\frac{[x]}{1+x^{2}}$$, जहाँ $$[x]$$ महत्तम पूर्णांक $$\leq x$$ है, का प्रांत $$[2,6)$$ है, तो इसका परिसर है

20 मीटर लंबी एक तार को दो भागों में काटा गया है । $$l_{1}$$ लंबाई के एक भाग को मोड़ कर $$A_{1}$$ क्षेत्रफल का एक वर्ग बनाया गया है तथा $$l_{2}$$ लंबाई के दूसरे भाग से $$A_{2}$$ क्षेत्रफल का एक वृत्त बनाया गया है । यदि $$2 A_{1}+3 A_{2}$$ न्यूनतम है, तो $$\left(\pi l_{1}\right): l_{2}$$ बराबर है

माना $$\alpha \in(0,1)$$ तथा $$\beta=\log _{e}(1-\alpha)$$ हैं । माना $$P_{n}(x)=x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\ldots+\frac{x^{n}}{n}, x \in(0,1)$$ है । तो समाकलन $$\int_\limits{0}^{\alpha} \frac{t^{50}}{1-t} d t$$ बराबर है

माना रेखाओं $$L: \frac{x-5}{-2}=\frac{y-\lambda}{0}=\frac{z+\lambda}{1}, \lambda \geq 0$$ तथा $$L_{1}: x+1=y-1=4-z$$ के बीच न्यूनतम दूरी $$2 \sqrt{6}$$ है । यदि $$(\alpha, \beta, \gamma)$$ रेखा $$\mathrm{L}$$ पर है, तो निम्न में से कौन सा संभव नहीं है ?

माना $$\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$$ तथा $$\vec{b}$$ और $$\vec{c}$$ दो शून्येतर सदिश हैं जिनके लिए $$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}|$$ और $$\vec{b} \cdot \vec{c}=0$$ हैं । निम्न दो कथनों का विचार कीजिए

(A) सभी $$\lambda \in \mathbb{R}$$ के लिए $$|\vec{a}+\lambda \vec{c}| \geq|\vec{a}|$$

(B) $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{c}$$ सदा समांतर हैं

तो

माना $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 12 & -3 \end{array}\right)$$ है । तो आव्यूह $$(A+I)^{11}$$ के विकर्ण के अवयवों का योग है

माना वक्र $$C_1:|z|=4$$ पर सभी $$z \in C$$ के लिए बिंदु $$z+\frac{1}{z}$$ का बिंदुपथ वक्र $$C_2$$ है, तो

$$\int_\limits{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(2+3 \sin x)}{\sin x(1+\cos x)} d x$$ का मान बराबर है

माना $$y=f(x)=\sin ^{3}\left(\frac{\pi}{3}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3 \sqrt{2}}\left(-4 x^{3}+5 x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right)\right)$$ है । तो $$x=1$$ पर

$$5^{99}$$ को $$11$$ से विभाजित करने पर शेषफल है __________.

माना अंकों $$0,2,3,4,7,9$$ के प्रयोग से पुनरावृत्ति के साथ $$5$$ अंकों की संख्याएँ बनाई गई हैं तथा उन्हें क्रम संख्या के साथ आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है । तो संख्या $$42923$$ की क्रम संख्या है ____________.

माना $$\alpha > 0$$ न्यूनतम संख्या है, जिसके लिए $$\left(x^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{x^{3}}\right)^{30}$$ के प्रसार के एक पद में $$x^{-\alpha}$$ तो $$\alpha$$ बराबर है _____________ $$\beta x^{-\alpha}, \beta \in \mathbb{N}$$

$$4$$-अंको की संख्याओं, जो $$2800$$ से कम या इसके बराबर हैं तथा $$3$$ या $$11$$ से विभाज्य है, की संख्या है ___________

माना $$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$$ A.P. में हैं । यदि $$a_{5}=2 a_{7}$$ तथा $$a_{11}=18$$ है, तो $$12\left(\frac{1}{\sqrt{a_{10}}+\sqrt{a_{11}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{11}}+\sqrt{a_{12}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{a_{17}}+\sqrt{a_{18}}}\right)$$ बराबर है _______________.

माना तो सदिश $$\vec{a}$$ तथा $$\vec{b}$$ इस प्रकार है कि $$|\vec{a}|=\sqrt{14},|\vec{b}|=\sqrt{6}$$ तथा $$|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{48}$$ . तो $$(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}$$ बराबर है ___________

माना $$x \in \mathbb{R}$$ के लिए

$$f(x)=\frac{x+|x|}{2}$$ तथा $$g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & x < 0 \\ x^{2}, & x \geq 0\end{array}\right.$$.

हैं। तो वक्र $$y=(f \circ g)(x)$$ तथा रेखाओं $$y=0,2 y-x=15$$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल बराबर ___________ है।

यदि बारंबारता बंटन

$$x_i$$	2	3	4	5	6	7	8
बारंबारता $$\left(f_{i}\right)$$	3	6	16	$$\alpha$$	9	5	6

का प्रसरण $$3$$ है, तो $$\alpha$$ बराबर है ______________.