क्षेत्र A का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है :
A = {(x, y) : |x| + |y| $$ \le $$ 1, 2y² $$ \ge $$ |x|}

समीकरण का सामान्य समाधान

$$\sqrt {1 + {x^2} + {y^2} + {x^2}{y^2}} $$ + xy$${{dy} \over {dx}}$$ = 0 है :

(जहाँ C एकीकरण की एक स्थिरांक है)

जो क्षेत्र निम्नलिखित द्वारा निरूपित है
{z = x + iy $$ \in $$ C : |z| – Re(z) $$ \le $$ 1} वह निम्नलिखित
असमानता द्वारा भी निरूपित है : {z = x + iy $$ \in $$ C : |z| – Re(z) $$ \le $$ 1}

यदि a, b, c, d और p कोई शून्य से भिन्न वास्तविक संख्याएं हों जो कि विभिन्न हैं, उन्हें ऐसे समीकरण d² + b² + c²)p² – 2(ab + bc + cd)p + (b² + c² + d²) = 0 के लिए मान लिया जाए। तब :

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{{\int\limits_0^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}} {t\cos \left( {{t^2}} \right)dt} } \over {\left( {x - 1} \right)\sin \left( {x - 1} \right)}}} \right)$$

समुच्चय A में m तत्व हैं और समुच्चय B में n तत्व हैं। यदि A के उपसमुच्चयों की कुल संख्या B के उपसमुच्चयों की कुल संख्या से 112 अधिक है, तो m.n का मूल्य ______ है।

एक फ़ंक्शन f : R $$ \to $$ R को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया गया है।

$$f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{ {{x^5}\sin \left( {{1 \over x}} \right) + 5{x^2},} & {x < 0} \cr {0,} & {x = 0} \cr {{x^5}\cos \left( {{1 \over x}} \right) + \lambda {x^2},} & {x > 0} \cr } } \right.$$

वह मान $$\lambda $$ जिसके लिए f ''(0) मौजूद है, _______ है।

यदि $$\overrightarrow a $$ और $$\overrightarrow b $$ इकाई वेक्टर हैं, तो $$\sqrt 3 \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|$$ का सबसे बड़ा मान _____ है।

अगर I₁ = $$\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - {x^{50}}} \right)}^{100}}} dx$$ और
I₂ = $$\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - {x^{50}}} \right)}^{101}}} dx$$ ऐसा
कि I₂ = $$\alpha $$I₁ तो $$\alpha $$के बराबर है :

समय t पर एक चलती हुई कार की स्थिति दी गई है
f(t) = at² + bt + c, t > 0, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्या हैं 1 से अधिक। फिर, समय अंतराल [t₁, t₂] पर कार की औसत गति उस बिंदु पर प्राप्त की जाती है :

यदि $$\alpha $$ और $$\beta $$ समीकरण के दो मूल हो
x² – 64x + 256 = 0. तब
$${\left( {{{{\alpha ^3}} \over {{\beta ^5}}}} \right)^{1/8}} + {\left( {{{{\beta ^3}} \over {{\alpha ^5}}}} \right)^{1/8}}$$ का मान है :

यदि $$\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - a} \right)} = n$$ और $$\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - a} \right)}^2}} = na$$
(n, a > 1) तब n
पर्यवेक्षणों x₁ , x₂ , ..., x_n का मानक विचलन है :

यदि {p} संख्या p के भिन्नाश पार्ट को दर्शाता है, तब
$$\left\{ {{{{3^{200}}} \over 8}} \right\}$$, के बराबर है :

यदि f(x + y) = f(x)f(y) और $$\sum\limits_{x = 1}^\infty {f\left( x \right)} = 2$$, x, y $$ \in $$ N, जहाँ N सभी प्राकृतिक संख्याओं का समूह है, तो मान $${{f\left( 4 \right)} \over {f\left( 2 \right)}}$$ कितना है :

11 क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं में से यदि तीन संख्याओं का चयन यादृच्छया (पुनरावृत्ति के बिना) किया जाता है, तब सकारात्मक समान अंतर के साथ A.P. में होने की संभावना है :

एक प्रकाश की किरण जो बिंदु (2, $$2\sqrt 3 $$) से आ रही हो, रेखा x = 1 पर बिंदु A पर 30^o के कोण पर पड़ती है। प्रकाश की किरण x = 1 पर परावर्तित होती है और बिंदु B पर x-अक्ष से मिलती है। तब, लाइन AB निम्न बिंदु से होकर जाती है :

रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए $$\lambda $$ और $$\mu $$ के मान
x + y + z = 2
x + 2y + 3z = 5
x + 3y + $$\lambda $$z = $$\mu $$
क्रमशः अनंततापूर्वक कई समाधान होते है, वे हैं:

माना m और M क्रमशः हों

$$\left| {\matrix{ {{{\cos }^2}x} & {1 + {{\sin }^2}x} & {\sin 2x} \cr {1 + {{\cos }^2}x} & {{{\sin }^2}x} & {\sin 2x} \cr {{{\cos }^2}x} & {{{\sin }^2}x} & {1 + \sin 2x} \cr } } \right|$$

की न्यूनतम और अधिकतम मान है:

तीन सदस्यों वाले दो परिवारों और चार सदस्यों वाले एक परिवार को एक पंक्ति में बैठाना है। वे कितने तरीकों से बैठा सकते हैं ताकि एक ही परिवार के सदस्य अलग न हों?