माना $$\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots ., \mathrm{a}_{30}$$ एक समांतर श्रेणी है, $$\mathrm{S}=\sum\limits_{i=1}^{30} \mathrm{a}_{i}$$ तथा $$\mathrm{T}=\sum\limits_{i=1}^{15} \mathrm{a}_{(2 i-1)}$$ यदि $$\mathrm{a}_{5}=27$$ तथा $$\mathrm{S}-2 \mathrm{T}=75$$, तो $$\mathrm{a}_{10}$$ बराबर है-

माना $$\mathrm{A}=\left\{\theta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \pi\right): \frac{3+2 \mathrm{i} \sin \theta}{1-2 \mathrm{i} \sin \theta}\right.$$ मात्र काल्पनिक है $$\}$$ तो $$\mathrm{A}$$ के अवयवों का योग है-

किसी $$\theta \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$$, के लिए व्यंजक $$3(\sin \theta-\cos \theta)^{4}+6(\sin \theta+\cos \theta)^{2}+4 \sin ^{6} \theta$$ बराबर है:

रैखिक समीकरण निकाय

$$x+y+z=2$$

$$2 x+3 y+2 z=5$$

$$2 x+3 y+\left(\mathrm{a}^{2}-1\right) z=\mathrm{a}+1$$

$$3$$ मी. तिर्यक (slant) ऊँचाई वाले लंबवृत्तीय शंकु का अधिकतम आयतन (घन मी. में) है-

यदि $$\cos ^{-1}\left(\frac{2}{3 x}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{3}{4 x}\right)=\frac{\pi}{2}\left(x>\frac{3}{4}\right)$$, तब $$x$$ बराबर है :

माना $$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$$ है। यदि अतिपरवलय $$\frac{x^{2}}{\cos ^{2} \theta}-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \theta}=1$$ की उत्केंद्रता $$2$$ से अधिक है, तो इसके नाभिलंब की लंबाई जिस अंतराल में है, वह है-

यदि $$y=y(x)$$ अवकल समीकरण $$x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=x^{2}$$ का हल है जो $$y(1)=1$$, को संतुष्ट करता है, तो $$y\left(\frac{1}{2}\right)$$ बराबर है :

यदि $$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$$ तो आव्यूह $$\mathrm{A}^{-50}$$ जब $$\theta=\frac{\pi}{12}$$, बराबर है-

$$x \in \mathbf{R}-\{0,1\}$$ के लिए, तीन फलन $$f_{1}(x)=\frac{1}{x}, f_{2}(x)=1-x$$ तथा $$f_{3}(x)=\frac{1}{1-x}$$ दिए गए हैं। यदि एक फलन $$\mathrm{J}(x),\left(\mathrm{f}_{2}^{\circ} \mathrm{J}^{\circ} \mathrm{f}_{1}\right)(x)=\mathrm{f}_{3}(x)$$ को संतुष्ट करता है, तो $$\mathrm{J}(x)$$ बराबर है:

एक परवलय का अक्ष $$\mathrm{x}$$-अक्ष के अनुदिश है। यदि इसके शीर्ष तथा नाभि, $$\mathrm{x}$$-अक्ष की धनात्मक दिशा में मूलबिन्दु से क्रमश: $$2$$ तथा $$4$$ की दूरी पर है, तो निम्न में से कौन-सा बिन्दु इस परवलय पर स्थित नहीं है ?

$$\lim\limits_{y \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+y^{4}}}-\sqrt{2}}{y^{4}}$$ का

यदि तीन भिन्न वास्तविक संख्याएँ $$\mathrm{a, b}$$ तथा $$\mathrm{c}$$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं तथा $$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=x \mathrm{~b}$$, तो $$\mathrm{x}$$ निम्न में कौन-सा नहीं हो सकता?

यदि संख्या $$\frac{2^{403}}{15}$$ का भिन्नात्मक भाग (fractional part) $$\frac{\mathrm{k}}{15}$$ है, तो $$\mathrm{k}$$ बराबर है-

एक कक्षा के $$5$$ विद्यार्थियों की ऊँचाइयों का माध्य $$150$$ से.मी. तथा प्रसरण $$18$$ वर्ग से.मी. है। $$156$$ से.मी. ऊँचाई वाला एक नया विद्यार्थी उनसे आ मिला। इन छः विद्यार्थियों की ऊँचाइयों का प्रसरण है-

माना $$f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$$ एक फलन है जो

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 5, & \text { यदि } & x \leq 1 \\ \mathrm{a}+\mathrm{b} x, & \text { यदि } & 1 < x<3 \\ \mathrm{~b}+5 x, & \text { यदि } & 3 \leq x<5 \\ 30, & \text { यदि } & x \geq 5 \end{array}\right. $$

द्वारा परिभाषित है, तो $$f$$ :

$$x^{2} \neq \mathrm{n} \pi+1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}$$ (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय), के लिए समाकलन $$\int x \sqrt{\frac{2 \sin \left(x^{2}-1\right)-\sin 2\left(x^{2}-1\right)}{2 \sin \left(x^{2}-1\right)+\sin 2\left(x^{2}-1\right)}} \mathrm{d} x$$ बराबर है- (जहाँ $$\mathrm{c}$$ एक समाकलन अचर है)

$$\int\limits_{0}^{\pi}|\cos x|^{3} \mathrm{~d} x$$ का मान है-

यदि $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ समीकरण $$x^{2}+2 x+2=0$$, के दो मूल हैं, तो $$\alpha^{15}+\beta^{15}$$ बराबर है-

$$5$$ लड़कियों तथा $$7$$ लड़कों की एक कक्षा का विचार कीजिए। इस कक्षा की $$2$$ लड़कियों तथा $$3$$ लड़कों को लेकर बन सकने वाली भिन्न टीमों (teams), यदि दो विशेष लड़के $$\mathrm{A}$$ तथा $$\mathrm{B}$$ एक ही टीम के सदस्य बनने से मना करते हैं, की संख्या है-

परवलय $$y=x^{2}-1$$, इस परवलय पर स्थित एक बिन्दु $$(2,3)$$ पर खींची गई स्पर्श रेखा तथा $$y$$-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है-

यदि वक्रों $$y=10-x^{2}$$ तथा $$y=2+x^{2}$$ के बीच एक प्रतिच्छेद बिन्दु पर न्यून कोण $$\theta$$ है, तो $$|\tan \theta|$$ बराबर है-