ধরি অবকল সমীকরণ $$xdy = \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} + y} \right)dx,\,x > 0$$ এর সমাধান ছেদ করে সরলরেখা $$x = 1,y = 0$$ বিন্দুতে এবং সরলরেখা $$x = 2,y = \alpha $$ বিন্দুতে তবে $$\alpha $$ এর মান হবে ঃ

ত্রিকোণমিক অপেক্ষক $$f(x) = {\cos ^{ - 1}}\left( {{{{x^2} - 4x + 2} \over {{x^2} + 3}}} \right)$$ এর মুখ্যমান ধরে এর সংজ্ঞার অঞ্চল হবে ঃ

ধরি ভেক্টর $$\overrightarrow a = (1 + t)\widehat i + (1 - t)\widehat j + \widehat k,\overrightarrow b = (1 - t)\widehat i + (1 + t)\widehat j + 2\widehat k$$ এবং $$\overrightarrow c = t\widehat i - t\widehat j + \widehat k,\,t \in R$$ যেখানে $$\alpha ,\beta ,\gamma \in R,\alpha \overrightarrow a + \beta \overrightarrow b + \gamma \overrightarrow c = \overrightarrow 0 \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 0$$ . তবে সকল $$t$$ এর মানের সেট হবে ঃ

ত্রিকোণমিক বিপরীত অপেক্ষক $${\cos ^{ - 1}}(x) - 2{\sin ^{ - 1}}(x) = {\cos ^{ - 1}}(2x)$$ এর সমাধানের মুখ্যমানগুলির সমষ্টি হবে ঃ

ধরি একটি ভেক্টর $$\overrightarrow a $$ যাহার মান $$9$$ । ধরি $$\overrightarrow b $$ অপর ভেক্টর যাতে যেকোনো $$(x,y) \in R \times R - \{ (0,0)\} $$, এর তবে $$(6y\overrightarrow a - 18x\overrightarrow b )$$ ভেক্টর $$(x\overrightarrow a + y\overrightarrow b )$$ এর সামে লম্ব। তবে $$\left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|$$ এর মান হবে ঃ

$$t \in (0,2\pi )$$ এর জন্য, যদি $$ABC$$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ হয় যাহার শীর্ষবিন্দুগুলি হল $$A(\sin t, - \cos t),B(\cos t,\sin t)$$ এবং $$C(a,b)$$ যাহার লম্ববিন্দু একটি বৃত্তের কেন্দ্র $$\left( {1,{1 \over 3}} \right)$$ এর উপর অবস্থিত, তবে $$({a^2} - {b^2})$$ এর মান হবে ঃ

$$\alpha \in N$$ এর জন্য, ধরি একটি সম্পর্ক $$R \to N$$ দেওয়া আছে। $$R = \{ (x,y):3x + \alpha y$$, যাহা $$7$$ এর গুণিতক$$\} $$ সম্পর্ক $$R$$ একটি সমতুল্য সম্পর্ক হবে যদি কেবলমাত্র ঃ

একটি পরীক্ষায় $$60\% $$ মহিলা এবং $$40\% $$ পুরুষ পরীক্ষায় বসে, এদের মধ্যে $$60\% $$ পাশ করে। একজন পাশ পরীক্ষার্থী কে যথেচ্ছভাবে নির্বাচন করা হল, তবে নির্বাচিত পরীক্ষার্থী মহিলা হইবার সম্ভাবনা হবে ঃ

যদি $$y = y(x),x \in (0,\pi /2)$$ হল অবকল সমীকরণ $$\left( {{{\sin }^2}2x} \right){{dy} \over {dx}} + (8{\sin ^2}2x + 2\sin 4x)y = 2{e^{ - 4x}}(2\sin 2x + \cos 2x)$$ যেখানে, $$y(\pi /4) = {e^{ - \pi }}$$, তবে $$y(\pi /6)$$ এর মান হবে ঃ

ধরি বৃত্ত $${x^2} + {y^2} - x + 2y = {{11} \over 4}$$ এর কেন্দ্র $$C$$ এবং ঐ বৃত্তের উপর যেকোনো একটি বিন্দু $$P$$ । একটি সরলরেখা $$C$$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলো যাহা $$CP$$ এর সহিত $${\pi \over 4}$$ কোণ উৎপন্ন করে এবং ঐ বৃত্তকে $$Q$$ এবং $$R$$ বিন্দুতে ছেদ করে, তবে ত্রিভুজ $$PQR$$ (বর্গ এককে) হবে ঃ

$${7^{2022}} + {3^{2022}}$$ কে $$5$$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে ঃ

$${S_1} = \left\{ {{z_1} \in C:|{z_1} - 3| = {1 \over 2}} \right\}$$ এবং $${S_2} = \left\{ {{z_2} \in C:|{z_2} - |{z_2} + 1|| = |{z_2} + |{z_2} - 1||} \right\}$$ . তবে $${z_1} \in {S_1}$$ এবং $${z_2} \in {S_2}$$ এর জন্য $$|{z_2} - {z_1}|$$ এর সর্বনিম্ন মান হবে ঃ

$$f(x) = {{5{x^2}} \over 2} + {\alpha \over {{x^5}}},x > 0$$ এর অবম মান হয় $$14$$, তবে $$\alpha $$ এর মান হবে ঃ

ধরি $$\alpha ,\beta $$ এবং $$\gamma $$ তিনটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, যেখানে $$f(x) = \alpha {x^5} + \beta {x^3} + \gamma x,x \in R$$ এবং $$g:R \to R$$, যেখানে $$g(f(x))x$$, সকল $$x \in R$$ । যদি $${a_1},{a_2},{a_3},\,...,\,{a_n}$$ সমান্তর শ্রেণীভুক্ত হয়, শূন্য গড়ে, তবে $$f\left( {g\left( {{1 \over n}\sum\limits_{i = 1}^n {f({a_i})} } \right)} \right)$$ এর মান হবে ঃ

দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলন অপেক্ষক $$f(x) = \int\limits_0^x {{e^{x - t}}f'(t)dt - ({x^2} - x + 1){e^x},x \in R} $$, এর সর্বনিম্ন মান হবে ঃ

ধরি $$S$$ একটি passwords এর সেট যাহা $$6$$ থেকে $$8$$ টি চরিত্র আছে, যাহাতে প্রতিটি চরিত্র হয় বর্ণমালা $$\{ A,B,C,D,E\} $$ বা সংখ্যা $$\{ 1,2,3,4,5\} $$, চরিত্রগুলি পুনঃ পুনঃ প্রয়োগ করা যাবে। যদি $$S$$ থেকে নেওয়া passwords এর সংখ্যা কমপক্ষে একটি চরিত্র হয় $$\{ 1,2,3,4,5\} $$ এর থেকে হয় $$\alpha \times {5^6}$$, তবে $$\alpha $$ এর মান হবে _____________।

ধরি $$P( - 2, - 1,1)$$ এবং $$Q\left( {{{56} \over {17}},{{43} \over {17}},{{111} \over {17}}} \right)$$ বিন্দুদ্বয় হল রম্বস $$PRQS$$ এর দুটি শীর্ষবিন্দু। যদি কর্ণ $$RS$$ এর দিগঙ্ক অনুপাত হয় $$\alpha , - 1,\beta ,$$ যেখানে উভয় $$\alpha $$ এবং $$\beta $$ হল সংখ্যামানে সর্বনিম্ন অখণ্ড সংখ্যা, তবে $${\alpha ^2} + {\beta ^2}$$ এর মান হবে ___________।

ধরি $$f:[0,1] \to R$$ একটি দ্বিতীয় অন্তরকলজ এর অপেক্ষক $$(0,1)$$ অন্তরে, যেখানে $$f(0) = 3$$ এবং $$f(1) = 5$$. যদি সরলরেখা $$y = 2x + 3$$ প্রদত্ত গ্রাফ $$f$$ কে কেবল দুটি ভিন্ন বিন্দুতে ছেদ করে $$(0,1)$$ অন্তরে, তবে সর্বনিম্ন বিন্দু $$x \in (0,1),f''(x) = 0$$ এর হবে ___________।

যদি $$\int\limits_0^{\sqrt 3 } {{{15{x^3}} \over {\sqrt {1 + {x^2} + \sqrt {{{(1 + {x^2})}^3}} } }}dx = \alpha \sqrt 2 + \beta \sqrt 3 } $$, যেখানে $$\alpha ,\beta $$ অখণ্ড সংখ্যা, তবে $$\alpha + \beta $$ এর মান হবে ____________।

ধরি $$A = \left[ {\matrix{ 1 & { - 1} \cr 2 & \alpha \cr } } \right]$$ এবং $$B = \left[ {\matrix{ \beta & 1 \cr 1 & 0 \cr } } \right]$$ $$,\alpha ,\beta \in R$$ । ধরি $${\alpha _1}$$ হল $$\alpha $$ এর একটি মান যাহা সিদ্ধ করে $${(A + B)^2} = {A^2} + \left[ {\matrix{ 2 & 2 \cr 2 & 2 \cr } } \right]$$, এবং $${\alpha _2}$$ হল $$\alpha $$ এর একটি মান যাহা সিদ্ধ করে $${(A + B)^2} = {B^2}$$. তবে $$|{\alpha _1} - {\alpha _2}| = $$

ধরি $$p,q \in R$$ এর জন্য একটি বাস্তব সংখ্যার অপেক্ষক $$f(x) = {(x - p)^2} - q,x \in R$$ এবং $$q > 0$$ । ধরি $${a_1},{a_2},{a_3}$$ এবং $${a_4}$$ একটি সমান্তরীয় প্রগতিতে আছে যাহার গড় $$p$$ এবং ধনাত্মক সাধারণ অন্তর। যদি $$|f({a_i})| = 500$$ সকল $$i = 1,2,3,4,$$ তবে $$f(x) = 0$$ এর সংখ্যামানে বীজদ্বয়ের অন্তর হবে ____________।

ধরি $${x_1},{x_2},{x_3},\,...,\,{x_{20}}$$ গুণোত্তর শ্রেণীভুক্ত যেখানে $${x_1} = 3$$ এবং সাধারণ অনুপাত $${1 \over 2}$$ । একটি নুতন সারণী তৈরি করা হল প্রতি $${x_i}$$ এর পরিবর্তে $${({x_i} - 1)^2}$$ করে। যদি $$\overline x $$ হল নুতন শ্রেণীর গড় মান, তবে $$\overline x \le $$ সর্বোচ্চ অখণ্ড সংখ্যা ______________।

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {{{{{(x + 2\cos x)}^3} + 2{{(x + 2\cos x)}^2} + 3\sin (x + 2\cos x)} \over {{{(x + 2)}^3} + 2{{(x + 2)}^2} + 3\sin (x + 2)}}} \right)^{{{100} \over x}}}$$ এর মান হবে ______________।

$${{3{x^2} - 9x + 17} \over {{x^2} + 3x + 10}} = {{5{x^2} - 7x + 19} \over {3{x^2} + 5x + 12}}$$ এর সকল $$x$$ এর বাস্তব মানের যোগফল হবে _____________।