ধর $$[t]$$ হল বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যার অপেক্ষক। তাহলে $$f(x) = {\sin ^{ - 1}}[2{x^2} - 3] + {\log _2}\left( {{{\log }_{{1 \over 2}}}\left( {{x^2} - 5x + 5} \right)} \right)$$ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল হল ঃ

ধর $$S$$ হল সেইসমস্ত $$(\alpha ,\beta )$$ র সেট $$\pi < \alpha ,\beta < 2\pi $$ যাদের জন্য $${{1 - i\sin \alpha } \over {1 + 2i\sin \alpha }}$$ হল বিশুদ্ধ জটিল রাশি এবং $${{1 + i\cos \beta } \over {1 - 2i\cos \beta }}$$ হল বিশুদ্ধ বাস্তব রাশি। ধর $${Z_{\alpha \beta }} = \sin 2\alpha + i\cos 2\beta ,(\alpha ,\beta ) \in S$$ । তাহলে $$\sum\limits_{(\alpha ,\beta ) \in S}^{} {\left( {i{Z_{\alpha \beta }} + {1 \over {{{\overline Z }_{\alpha \beta }}}}} \right)} $$ এর মান হল ঃ

ধর $$\alpha ,\beta $$ হল নীচের সমীকরণটির বীজদ্বয়

$${x^2} - \left( {5 + {3^{\sqrt {{{\log }_3}5} }} - {5^{\sqrt {{{\log }_5}3} }}} \right) + 3\left( {{3^{{{({{\log }_3}5)}^{{1 \over 3}}}}} - {5^{{{({{\log }_5}3)}^{{2 \over 3}}}}} - 1} \right) = 0$$ ।

যে সমীকরণটির বীজদ্বয় $$\alpha + {1 \over \beta }$$ এবং $$\beta + {1 \over \alpha }$$ তা হল ঃ

$$p \ne q \ne 0$$ এর জন্য $$f(x) = {{\root 7 \of {p(729 + x)} - 3} \over {\root 3 \of {729 + qx} - 9}}$$ অপেক্ষকটি $$x = 0$$ বিন্দুতে সন্তত। তাহলে ঃ

ধর $$f(x) = 2 + |x| - |x - 1| + |x + 1|,x \in R$$ ।

নীচের বিবৃতি দুটি বিবেচনা করো ঃ

$$(S1):f'\left( { - {3 \over 2}} \right) + f'\left( { - {1 \over 2}} \right) + f'\left( {{1 \over 2}} \right) + f'\left( {{3 \over 2}} \right) = 2$$

$$(S2):\int\limits_{ - 2}^2 {f(x)dx = 12} $$

তাহলে ঃ

একটি অসীম গুণোত্তর প্রগতির প্রথম পদ হল $$a$$, সাধারণ অনুপাত হল $$r$$, এবং যোগফল হল $$5$$ । ধর ঐ প্রগতিটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল হল $${{98} \over {25}}$$ । এবার এমন একটি সমান্তর প্রগতি বিবেচনা করো যার প্রথম পদ হল $$10ar,n$$ তম পদ হল $${a_n}$$ এবং সাধারণ অন্তর হল $$10a{r^2}$$ । এই সমান্তর প্রগতিটির যোগফল হল ঃ

$$y \le 4{x^2},{x^2} \le 9y$$ এবং $$y \le 4$$ দ্বারা পরিবেষ্টিত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হল ঃ

ধর $$[t]$$ হল গরিষ্ঠ পূর্ণসংখ্যার অপেক্ষক। তবে $$\int\limits_0^2 {\left( {|2{x^2} - 3x| + \left[ {x - {1 \over 2}} \right]} \right)dx} $$ সমান ঃ

নিম্নে প্রদত্ত ছবিটিতে দেওয়া বক্র $$y = y(x)$$ বিবেচনা করো। ধর $${A_1}$$ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হল $${A_2}$$ অঞ্চলের দ্বিগুণ। তাহলে $$2x - 12y = 15$$ র যে লম্বরেখাটি উপরের বক্রের অভিলম্ব তাহা নীচের কোন বিন্দু দিয়ে যায় না?

ধর $$ABC$$ ত্রিভুজের $$AB,BC$$ ও $$CA$$ সরলরেখাগুলি হল যথাক্রমে $$2x + y = 0,\,x + py = 39$$ এবং $$x - y = 3$$ । $$ABC$$ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হল $$P(2,3)$$ । তাহলে নীচের কোনটি সঠিক নয়?

ধর $${{x + 1} \over 2} = {{y - 3} \over 3} = {{z - 1} \over { - 1}}$$ রেখার ওপর $$P(a,4,2),\,a > 0$$ বিন্দু হতে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য হল $$2\sqrt 6 $$ একক। মনে করো $$Q({\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3})$$ হল $$L$$ এর সাপেক্ষে $$P$$ বিন্দুর প্রতিবিম্ব। তাহলে $$a + \sum\limits_{i = 1}^3 {{\alpha _i}} $$ সমান ঃ

ধর ছয়মুখওয়ালা একটি ত্রুটি যুক্ত ছক্কা এরূপ যে $$3 \times P$$ (একটি মৌলিক সংখ্যা) $$ = 6 \times P$$ (একটি যৌগিক সংখ্যা) $$ = 2 \times P(1)$$ । ধর $$X$$ হল সেই সম্ভাবনাশ্রয়ী চলক যাহা গণনা করে মোট বর্গ সংখ্যা পাওয়ার সংখ্যা। যদি ঐ ছক্কাটিকে দুবার ছোড়া হয়, তবে $$X$$ এর গড় মান হল ঃ

ধর $$A = \{ x \in N:{x^2} - 10x + 9 \le 0\} $$ এবং $$B = \{ {n^2}:n \in N\} $$

$$A$$ হতে $$B$$ তে সংজ্ঞায়িত এমন কতগুলি অপেক্ষক $$f$$ আছে যাদের জন্য $$f(x) \le {(x - 3)^2} + 1,\forall x \in A$$ হয় ?

ঘাত এর উর্ধক্রমে $${(3 + 6x)^n}$$ এর দ্বিপদ বিস্তৃতিতে $$9$$ নম্বর পদটি $$x = {3 \over 2}$$ এ গরিষ্ঠ হইবার জন্য $$n$$ এর সর্বনিম্ন মান হল $${n_0}$$ । যদি $${x^6}$$ এবং $${x^3}$$ এর সহগগুলির অনুপাত $$k$$ হলে $$k + {n_0}$$ এর মান হবে ______________।

একটি জলের ট্যাঙ্ক লম্ব শঙ্কু আকৃতি। ঐ শঙ্কুটির শীর্ষবিন্দু নীচের দিকে আছে। উহার শীর্ষকোণের অর্ধেক হল $${\tan ^{ - 1}}{3 \over 4}$$ । ঐ ট্যাঙ্কে ধ্রুবক হারে জল ঢালা হল। ঐ ধ্রুবক হল $$6$$ । যে হারে শঙ্কুটির ভেজা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়, যখন শঙ্কুটির জলের গভীরতা $$4$$ মিটার হয়, তা হল _____________।

$$C:({x^2} + {y^2} - 3) + {({x^2} - {y^2} - 1)^5} = 0$$ বক্রটির জন্য $$3{y^1} - {y^3}{y^{11}}$$ এর $$(\alpha ,\alpha ),\alpha > 0$$ তে মান হল on $$C$$ _____________।

$$[t]$$ হল গরিষ্ঠ পূর্ণসংখ্যার অপেক্ষক। ধর $$f(x) = \min \{ [x - 1],[x - 2],\,...,\,[x - 10]\} $$ তবে $$\int\limits_0^{10} {f(x)dx + \int\limits_0^{10} {{{(f(x))}^2}dx + \int\limits_0^{10} {f|(x)|dx} } } $$ সমান ______________।

ধর $$f$$ একটি অবকল যোগ্য অপেক্ষক যার জন্য $$f(x) = {2 \over {\sqrt 3 }}\int\limits_0^{\sqrt 3 } {f\left( {{{{\lambda ^2}x} \over 3}} \right)d\lambda ,x > 0} $$ এবং $$f(1) = \sqrt 3 $$ । যদি $$y = f(x)$$ বক্রটি $$(\alpha ,6)$$ বিন্দুগামী হয় তবে $$\alpha $$ এর মান হল ________________।

ধর $$\overrightarrow a ,\overrightarrow b $$ ও $$\overrightarrow c $$ হল তিনটি অসমতলীক ভেক্টর, এবং $$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = 4\overrightarrow c ,\overrightarrow b \times \overrightarrow c = 9\overrightarrow a $$ ও $$\overrightarrow c \times \overrightarrow a = \alpha \overrightarrow b ,\alpha > 0$$ । যদি $$|\overrightarrow a | + |\overrightarrow b | + |\overrightarrow c | = {1 \over {36}}$$ হয় তবে $$\alpha $$ সমান হবে _______________।