যদি $$x * y = {x^2} + {y^3}$$ এবং $$\left( {x * 1} \right) * 1 = x * \left( {1 * 1} \right)$$ হয় তবে $$2{\sin ^{ - 1}}\left( {{{{x^4} + {x^2} - 2} \over {{x^4} + {x^2} + 2}}} \right)$$ - এর মান হবে

$$\left( {{e^{2x}} - 4} \right)\left( {6{e^{2x}} - 5{e^x} + 1} \right) = 0$$    সমীকরণের সব বাস্তব বীজগুলির যোগফল হল

ধরি

$$\eqalign{ & x + y + az = 2 \cr & 3x + y + z = 4 \cr & x + 2z = 1 \cr} $$

সহসমীকরণগুলির একক সমাধান $$\left( {{x^ * },{y^ * },{z^ * }} \right)$$ আছে । যদি $$\left( {a,{x^ * }} \right),\left( {{y^ * },a} \right)$$ এবং $$\left( {{x^ * }, - {y^ * }} \right)$$ সমরেখ হয় তবে $$a$$ -এর সমস্ত সম্ভাব্য মানগুলির পরমমানের যোগফল হল

ধরি $$x,\,y > 0\,\,$$ । যদি $${x^3}{y^2} = {2^{15}}$$ হয়, তবে $$3x + 2y$$ এর সর্বনিম্ন মান হল

$$f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{\sin \left( {x - \left[ x \right]} \right)} \over {x - \left[ x \right]}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,x \in \left( { - 2, - 1} \right) \hfill \cr \max \left\{ {2x,3\left[ {\left| x \right|} \right]} \right\}\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\left| x \right| < 1 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,otherwise \hfill \cr} \right.$$

অন্যান্য ক্ষেত্রে যেখানে [ t ] হল সর্বোচ্চ পূর্ণসংখ্যা $$ \le t$$ । যদি $$f$$-এর অসন্তত বিন্দুর সংখ্যা n এবং যেসব বিন্দুতে অন্তরকলযোগ্য নয় তার সংখ্যা m হয়, তবে (m, n) হল

$$\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {{{dx} \over {\left( {1 + {e^x}} \right)\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)}}} $$ সমাকলটির মান হল :

xy- তলে (3, 3) বিন্দুগামী একটি বক্র C ধরে একটি বস্তু কণা চলছে। P বিন্দুতে C বক্রের উপর স্পর্শকটি x- অক্ষকে Q বিন্দুতে ছেদ করে এবং PQ রেখাংশকে y-অক্ষের মধ্যবিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে C একটি অধিবৃত্ত যাহার,

ধরি, $${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over 4} = 1,\,a > 2$$, পরাবৃত্তে অন্তলির্খিত একটি ত্রিভুজ, যার একটি শীর্ষবিন্দু পরাবৃত্তটির প্রধান অক্ষের একটি অন্তিম বিন্দু এবং একটি বাহু y- অক্ষের সমান্তরাল, এর ক্ষেত্রফল হল $$6\sqrt 3 $$ । তবে ওই পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা হল

ধরি $$A\left( {1,\,\alpha } \right),\,B\left( {\alpha ,\,0} \right)$$ এবং $$C\left( {0,\,\alpha } \right)$$ শীর্ষবিন্দু সম্পন্ন একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 4 বর্গ একক । যদি $$\left( {\alpha , - \alpha } \right),\,\left( { - \alpha ,\,\alpha } \right)$$ এবং $$\,\left( {{\alpha ^2},\beta } \right)$$ সমরেখ হয়, তবে $$\beta $$ -এর মান হবে

$${x^7} - 7x - 2 = 0$$  সমীকরণের ভিন্ন ভিন্ন বাস্তব বীজের সংখ্যা হল

যদি একটি সম্ভাবনাশ্রয়ী চলক X- এর সম্ভাবনা নিবেশন হল

X	0	1	2	3	4
P(X)	k	2k	4k	6k	8k

তাহলে $$P\left( {1 < X < 4|X \le 2} \right)$$ এর মান হবে

যদি $${{x - 1} \over 2} = {{y - 2} \over 3} = {{z - 3} \over \lambda }$$ এবং $${{x - 2} \over 1} = {{y - 4} \over 4} = {{z - 5} \over 5}$$ রেখাদ্বয়ের মধ্যে সর্বনিম্ন দূরত্ব $${1 \over {\sqrt 3 }}$$ হয়, তবে $$\lambda $$ -এর সম্ভাব্য সমস্ত মানের যোগফল

ধরি $$\mathop a\limits^ \wedge $$ এবং $$\mathop b\limits^ \wedge $$ দুটি একক ভেক্টর যাতে $$\left| {\left( {\mathop a\limits^ \wedge + \mathop b\limits^ \wedge } \right) + 2\left( {\mathop a\limits^ \wedge \times \mathop b\limits^ \wedge } \right)} \right| = 2$$ । যদি $$\mathop a\limits^ \wedge $$ ও $$\mathop b\limits^ \wedge $$ - এর অন্তবর্তী কোণ $$\theta \in \left( {0,\pi } \right)$$ হয় তবে,
$$\left( {S1} \right):\,\,2\left| {\mathop a\limits^ \wedge \times \mathop b\limits^ \wedge } \right| = \left| {\mathop a\limits^ \wedge - \mathop b\limits^ \wedge } \right|$$ এবং
$$\left( {S2} \right):\,\,\left( {\mathop a\limits^ \wedge + \mathop b\limits^ \wedge } \right)$$ -এর ওপর $${\mathop a\limits^ \wedge }$$ - এর অভিক্ষেপ হল $${1 \over 2}$$ প্রতিপাদ্যের মধ্যে

যদি $$y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\sec \,{x^3} - \tan \,{x^3}} \right),{\pi \over 2} < {x^3} < {{3\pi } \over 2}$$, হয় তবে

ধরি $${\lambda ^ * }$$ হল $$\lambda $$ -এর সর্বোচ্চ মান যার জন্য $$f\lambda \left( x \right) = 4\lambda {x^3} - 36\lambda {x^2} + 36x + 48$$ অপেক্ষকটি আরোহী। তবে $$f\lambda * \left( 1 \right) + f\lambda * \left( { - 1} \right)$$ -এর মান হল

ধরি, S = {z ∈ C : |$${z - 3}$$| ≤ 1 এবং z(4 + 3i) + $${\bar z}$$(4 − 3i) ≤ 24} । যদি $$\alpha + i\beta $$   S -এর ওপর এমন একটি বিন্দু যাহা $$4i$$ -এর সবচেয়ে নিকটবর্তী, তবে $$25\left( {\alpha + \beta } \right)$$ হল __________ ।

ধরি $$S = \left\{ {\left( {\matrix{ { - 1} & a \cr 0 & b \cr } } \right);a,\,b \in \left\{ {1,\,2,\,3,...100} \right\}} \right\}$$

এবং $${T_n} = \left\{ {A \in S\,:\,{A^{n\left( {n + 1} \right)}} = I} \right\}$$ তবে $$\bigcap\limits_{n = 1}^{100} {{T_n}} $$ -এ পদ সংখ্যা হল ________ ।

7 -অঙ্কের সেসব সংখ্যা যেগুলি 11 দ্বারা বিভাজ্য এবং 1, 2, 3, 4, 5, 7 এবং 9 -এর সব সংখ্যাকয়টি দ্বারা গঠিত তাদের সংখ্যা হল ______ ।

$$\left\{ {a \in \left\{ {1,2.....,100} \right\}\,\,:HCF\left( {a,\,24} \right) = 1} \right\}$$

সেটটির সদস্যদের যোগফলের মান হল _________ ।

$$1 + 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{2021}}$$ -কে 50 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে _______ ।

$${y^2} = 2x$$ অধিবৃত্ত এবং $$x + y = 4$$ রেখাদ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ( বর্গএকক) হল _____ ।

ধরি একটি বৃত্ত $$C:{\left( {x - h} \right)^2} + {\left( {y - k} \right)^2} = {r^2},\,\,k > 0,\,x$$ -অক্ষকে (1, 0) বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি $$x + y = 0$$ রেখাটি C বৃত্তকে P এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে যাতে PQ -এর দৈর্ঘ্য 2 হয়, তবে h + k + r -এর মান হবে _______ ।

ধরি পরাবৃত্ত $$H:{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {y^2} = 1$$ এবং উপবৃত্ত $$E:3{x^2} + 4{y^2} = 12$$ -এর নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য সমান। যদি $${e_H}$$ এবং $${e_E}$$ যথাক্রমে H ও E -এর উৎকেন্দ্রতা হয়, তবে $$12\left( {e_H^2 + e_E^2} \right)$$ -এর মান হবে _________ ।

ধরি $${P_1}$$ একটি অধিবৃত্ত যার শীর্ষবিন্দু (3, 2) এবং নাভি (4, 4) পূর্ণচ্ছেদ। মনে কর $${P_2}$$ হল $$x + 2y = 6$$ -এর সাপেক্ষে $${P_1}$$ এর প্রতিবিম্ব। তবে $${P_2}$$ -এর নিয়ামক হল $$x + 2y = $$ ________ ।