ধরি $$A = \,\left\{ {z \in C\,:\,1\, \le \,\left| {z - \left( {1 + i} \right)} \right| \le 2} \right\}$$

এবং $$B = \,\left\{ {z \in A\,:\,\left| {z - \left( {1 - i} \right)} \right| = 1} \right\}$$

তাহলে B হল :

3²⁰²² কে 5 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে :

ধর একটি বেলুনকে ফোলানো হলে উহা গোলাকৃতি হয় । এই বেলুনটিকে এমনভাবে ফোলানো হচ্ছে যাতে করে উহার পৃষ্ঠতলিক ক্ষেত্রফল সুষম হারে (Constant rate) বৃদ্ধি পায়। শুরুতে যদি এই বেলুনটির ব্যাসার্ধ 3 একক হয় এবং 5 সেকেন্ড পরে উহার ব্যাসার্ধ 7 একক হয় তাহলে 9 সেকেন্ড পরে উহার ব্যাসার্ধ হবে :

A ব্যাগে 2 টি সাদা বল, 1 টি কালো বল এবং 3 টি লাল বল আছে । B ব্যাগে 3 টি সাদা বল, n সংখ্যক সাদা বল এবং 2 টি লাল বল আছে । এই দুটি ব্যাগের মধ্যে একটি ব্যাগকে যদৃচ্ছভাবে পছন্দ করে উহার মধ্য হতে দুইটি বল যদৃচ্ছভাবে তোলা হলে দেখা গেল যে একটি লাল এবং একটি কালো । যদি দুইটি বলই A ব্যাগ হইতে আসার সম্ভাবনা $${6 \over {11}}$$ হয় । তাহলে n এর মান হবে

যে সমস্ত $$\alpha $$ এর মানের জন্য নিম্নলিখিত সহসমীকরণগুলির সমাধান নেই তাদের সংখ্যা হল :

$$x + y + z = \alpha $$

$$\alpha x + 2\alpha y + 3z = - 1$$

$$x + 3\alpha y + 5z = 4$$

ধর $$\alpha ,\beta $$ হল $$3{x^2} + \lambda x - 1 = 0$$ এর বীজ । যদি $$\alpha $$ ও $$\beta $$ এর অনন্যকের বর্গের যোগফল 15 হয় তাহলে $$6{\left( {{\alpha ^3} + {\beta ^3}} \right)^2}$$ এর মান হবে।

k এর যে সমস্ত মানের জন্য $${\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right)^3} + {\left( {{{\cot }^{ - 1}}x} \right)^3}\, = \,k{\pi ^3},x \in R$$ তাদের অন্তরাল হল :

$$f\left( x \right) = 4{\log _e}\left( {x - 1} \right) - 2{x^2} + 4x + 5,\,x > 1$$ , এই অপেক্ষকটির জন্য নীচের কোনটি সত্য নয় ?

$$\left[ {0,1} \right]$$ অন্তরালে $$f\left( x \right) = |2{x^2} + 3x - 2| + {\mathop{\rm sinx}\nolimits} \,{\mathop{\rm cosx}\nolimits} $$ এর পরম গরিষ্ঠ ও পরম লঘিষ্ঠ মানের যোগফল হল :

n একটি যুগ্ম সংখ্যা । যদি $$\left\{ {{a_i}} \right\}_{i = 1}^n$$ এমন একটি সমান্তর প্রগতি হয় যাহার সাধারন অন্তর 1 এবং যাহা $$\sum\limits_{i = 1}^n {} {a_i} = 192$$,

$$\sum\limits_{i = 1}^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle n$} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {}$}}\,2} {} {a_{2i}} = 120$$ কে সিদ্ধ করে, তাহলে n এর মান হল :

যদি $$y{{dx} \over {dy}} = 2x + {y^3}\left( {y + 1} \right){e^y},\,x\left( 1 \right) = 0$$, অবকল সমীকরণটির সমাধান $$x = x\left( y \right)$$ হয়, তাহলে $$x\left( e \right)$$ এর মান হবে :

ধর $$\widehat a$$ এবং $$\widehat b$$ দুইটি একক ভেক্টর । যদি $$\overrightarrow c $$ এমন একটি ভেক্টর হয় যাহার $$\widehat a$$ এর $$\overrightarrow c $$ র মধ্যের কোণের মান $${\pi \over {12}}$$ এবং যাহা $$\widehat b = \overrightarrow c + 2\left( {\overrightarrow c \times \widehat a} \right)$$ কে সিদ্ধ করে, তাহলে $${\left| {6\overrightarrow c } \right|^2}$$ এর মান হল :

$$f\left( x \right) = {{{{\cos }^{ - 1}}\left( {{{{x^2} - 5x + 6} \over {{x^2} - 9}}} \right)} \over {{{\log }_e}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}$$ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল হল :

যেসমস্ত 1-1 চিত্রন $$f:\left\{ {a,b,c,d} \right\} \to \left\{ {0,1,2,...,10} \right\}$$ নীচের নিয়মটি মেনে চলে

$$2f\left( a \right) - f\left( b \right) + 3f\left( c \right)+f\left( d \right) = 0$$ তাদের সংখ্যা হল _________ .

ধর কোন একটি পরীক্ষায় ৫ টি প্রশ্ন আছে এবং প্রশ্নগুলি বহুবিকল্পমূলক (multiple choice type questions) যাহাদের প্রত্যেকটিতে তিনটি বিকল্প উত্তর দেওয়া আছে কিন্তু কেবলমাত্র একটিই সঠিক। প্রত্যেক সঠিক উত্তরের জন্য 3 নম্বর, ভুল উত্তরের জন্য -2 নম্বর এবং উত্তর না দিলে 0 নম্বর দেওয়া হয়।
এমন একটি পরীক্ষায় বসা কোন একটি ছাত্র 5 নম্বর পেতে গেলে সে কতরকম ভাবে উত্তর দিতে পারে ?

$$xy$$ তলে $$A\left( {{3 \over {\sqrt a }},\sqrt a } \right),a > 0$$ , একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। A এর y- অক্ষের স্বাপেক্ষে প্রতিবিম্ব হল B এবং x- অক্ষে B এর প্রতিবিম্ব C । যদি $$D\left( {3\cos \theta ,a\sin \theta } \right)$$ চতুর্থ পাদে এমন একটি বিন্দু হয় যাহার জন্য $$\Delta ACD$$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এর গরিষ্ঠ মান হয় 12 বর্গ একক, তাহলে a এর মান হবে ________.

যদি 1, -4, 2 দিক অনুপাত সম্পন্ন কোন একটি সরলরেখা $${{x - 7} \over 3} = {{y - 1} \over { - 1}} = {{z + 2} \over 1}$$ এবং $${x \over 2} = {{y - 7} \over 3} = {z \over 1}$$ রেখাদ্বয়কে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে $${\left( {AB} \right)^2}$$ এর মান হবে _______.

ধর $$\left[ t \right]$$ হল গরিষ্ঠ পূর্ণসংখ্যা $$ \le t$$

তাহলে $$f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{ {\left| {2{x^2} - 3x - 7} \right|} & {} & {if\,\,\,\,\,x \le - 1} \cr {\left[ {4{x^2} - 1} \right]} & {} & {\,\,\,\,\,\,\,\,if\,\,\,\, - 1 < x < 1} \cr {\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 2} \right|} & {} & {if\,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 1} \cr } } \right.$$

অপেক্ষকটি যে সমস্ত বিন্দুতে অসন্তত তাদের সংখ্যা হল _______.

ধর $$f\left( \theta \right) = \sin \theta + \int\limits_{ - {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}}^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {} \left( {\sin \theta + t\,\cos \theta } \right)f\left( t \right)dt$$

তাহলে $$\left| {\int_0^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \pi $} \kern-0.1em/\kern-0.15em \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2$}}} {} f\left( \theta \right)d\theta } \right|$$ সমান ________.

ধর $$\mathop {Max}\limits_{0\, \le x\, \le \,2} \,\left\{ {{{9 - {x^2}} \over {5 - x}}} \right\} = \alpha $$

এবং $$\mathop {Min}\limits_{0\, \le x\, \le \,2} \,\left\{ {{{9 - {x^2}} \over {5 - x}}} \right\} = \beta $$

যদি $$\int\limits_{\beta - {8 \over 3}}^{2\alpha - 1} {} Max\,\left\{ {{{9 - {x^2}} \over {5 - x}},x} \right\}dx = {\alpha _1} + {\alpha _2}{\log _e}\left( {{8 \over {15}}} \right)$$ হয়, তাহলে $${\alpha _1} + {\alpha _2}$$ = ______

ধর S হল $$y = {x^3}$$ এবং $${y^2} = x$$ দ্বারা পরিবেষ্টিত সসীম অঞ্চল যদি $$y = 2\left| x \right|$$ বক্ররেখা S অঞ্চলটিকে $${R_1}$$ ও $${R_2}$$ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট দুইটি অঞ্চলে বিভক্ত করে।

যদি $$\max \left\{ {{R_{1,}}\,{R_2}} \right\} = {R_2}$$ হয় তাহলে $${{{R_2}} \over {{R_1}}}$$ সমান ________.

ধর $$\sqrt {{2 \over 3}} $$ হল

$$\mathop r\limits^ \to = \left( { - \mathop i\limits^ \wedge + \mathop {3k}\limits^ \wedge } \right) + \lambda \left( {\mathop i\limits^ \wedge - \mathop {aj}\limits^ \wedge } \right)$$ ও $$\mathop r\limits^ \to = \left( { - \mathop j\limits^ \wedge + \mathop {2k}\limits^ \wedge } \right) + \mu \left( {\mathop i\limits^ \wedge - \mathop j\limits^ \wedge + \mathop k\limits^ \wedge } \right)$$
রেখাদ্বয়ের নুন্যতম দূরত্ব।
তাহলে a এর পূর্ণসাংখ্যিক মান (integral value) হল _________.