JEE MAIN - Mathematics (2025 - 23rd January Morning Shift - No. 19)
If $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \operatorname{and}\left(\operatorname{adj}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)+\operatorname{adj}\left(\mathrm{B}^{-1}\right)\right)$ are non-singular matrices of same order, then the inverse of $A\left(\operatorname{adj}\left(A^{-1}\right)+\operatorname{adj}\left(B^{-1}\right)\right)^{-1} B$, is equal to
$\frac{A B^{-1}}{|A|}+\frac{B A^{-1}}{|B|}$
$\operatorname{adj}\left(\mathrm{B}^{-1}\right)+\operatorname{adj}\left(\mathrm{A}^{-1}\right)$
$\mathrm{AB}^{-1}+\mathrm{A}^{-1} \mathrm{~B}$
$\frac{1}{|A B|}(\operatorname{adj}(B)+\operatorname{adj}(A))$
Explanation
$$\begin{aligned}
& {\left[\mathrm{A}\left(\operatorname{adj}\left(\mathrm{~A}^{-1}\right)+\operatorname{adj}\left(\mathrm{B}^{-1}\right)\right)^{-1} \cdot \mathrm{~B}\right]^{-1}} \\
& \mathrm{~B}^{-1} \cdot\left(\operatorname{adj}\left(\mathrm{~A}^{-1}\right)+\operatorname{adj}\left(\mathrm{B}^{-1}\right)\right) \cdot \mathrm{A}^{-1} \\
& \mathrm{~B}^{-1} \operatorname{adj}\left(\mathrm{~A}^{-1}\right) \mathrm{A}^{-1}+\mathrm{B}^{-1}\left(\operatorname{adj}\left(\mathrm{~B}^{-1}\right)\right) \cdot \mathrm{A}^{-1} \\
& \mathrm{~B}^{-1}\left|\mathrm{~A}^{-1}\right| \mathrm{I}+\left|\mathrm{B}^{-1}\right| \mathrm{IA}^{-1} \\
& \frac{\mathrm{~B}^{-1}}{|\mathrm{~A}|}+\frac{\mathrm{A}^{-1}}{|\mathrm{~B}|} \\
& \Rightarrow \frac{\operatorname{adjB}}{|\mathrm{B}||\mathrm{A}|}+\frac{\operatorname{adj}}{|\mathrm{A}||\mathrm{B}|} \\
& =\frac{1}{|\mathrm{~A}||\mathrm{B}|}(\operatorname{adjB}+\operatorname{adjA})
\end{aligned}$$
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