P = $$\left[ {\matrix{ {{{\sqrt 3 } \over 2}} & {{1 \over 2}} \cr { - {1 \over 2}} & {{{\sqrt 3 } \over 2}} \cr } } \right]$$

$$ \therefore $$   P^T = $$\left[ {\matrix{ {{{\sqrt 3 } \over 2}} & { - {1 \over 2}} \cr {{1 \over 2}} & {{{\sqrt 3 } \over 2}} \cr  } } \right]$$

As    PP^T = P^TP = I

given, Q = PAP^T

$$ \therefore $$   P^TQ = P^TP AP^T

$$ \Rightarrow $$   P^TQ = IAP^T = AP^T [ as    P^TP = I]

Now,

P^T  Q²⁰¹⁵  P

=  P^TQ   .   Q²⁰¹⁴  .  P

=  AP^T  Q²⁰¹⁴  P

=  AP^T  .  Q  .  Q²⁰¹³  .  P

=  A²P^T  .  Q²⁰¹³  .  P

.

.

.
=  A²⁰¹⁴  .  P^TQP

=  A²⁰¹⁴   .   AP^TP

=  A²⁰¹⁵

As   A = $$\left[ {\matrix{ 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr } } \right]$$

$$ \therefore $$  A² =   $$\left[ {\matrix{ 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr } } \right]\left[ {\matrix{ 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr } } \right]$$   =  $$\left[ {\matrix{ 1 & 2 \cr 0 & 1 \cr } } \right]$$

A³  =   $$\left[ {\matrix{ 1 & 2 \cr 0 & 1 \cr } } \right]$$ $$\left[ {\matrix{ 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr } } \right]$$  =  $$\left[ {\matrix{ 1 & 3 \cr 0 & 1 \cr } } \right]$$

A²⁰¹⁵  =  $$\left[ {\matrix{ 1 & {2015} \cr 0 & 1 \cr } } \right]$$