JEE MAIN - Mathematics (2011 - No. 7)
The vectors $$\overrightarrow a $$ and $$\overrightarrow b $$ are not perpendicular and $$\overrightarrow c $$ and $$\overrightarrow d $$ are two vectors satisfying $$\overrightarrow b \times \overrightarrow c = \overrightarrow b \times \overrightarrow d $$ and $$\overrightarrow a .\overrightarrow d = 0\,\,.$$ Then the vector $$\overrightarrow d $$ is equal to :
$$\overrightarrow c + \left( {{{\overrightarrow a .\overrightarrow c } \over {\overrightarrow a .\overrightarrow b }}} \right)\overrightarrow b $$
$$\overrightarrow b + \left( {{{\overrightarrow b .\overrightarrow c } \over {\overrightarrow a .\overrightarrow b }}} \right)\overrightarrow c $$
$$\overrightarrow c - \left( {{{\overrightarrow a .\overrightarrow c } \over {\overrightarrow a .\overrightarrow b }}} \right)\overrightarrow b $$
$$\overrightarrow b - \left( {{{\overrightarrow b .\overrightarrow c } \over {\overrightarrow a .\overrightarrow b }}} \right)\overrightarrow c $$
Explanation
$$\overrightarrow a .\overrightarrow b \ne 0,\overrightarrow a .\overrightarrow d = 0$$
Now, $$\overrightarrow b \times \overrightarrow c = \overrightarrow b \times \overrightarrow d $$
$$ \Rightarrow \overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b \times \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b \times \overrightarrow d } \right)$$
$$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow c } \right)\overrightarrow b - \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\overrightarrow c = \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow d } \right)\overrightarrow b - \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\overrightarrow d $$
$$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\overrightarrow d = - \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow c } \right)\overrightarrow b + \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\overrightarrow c $$
$$\overrightarrow d = \overrightarrow c - \left( {{{\overrightarrow a .\overrightarrow c } \over {\overrightarrow a .\overrightarrow b }}} \right)\overrightarrow b $$
Now, $$\overrightarrow b \times \overrightarrow c = \overrightarrow b \times \overrightarrow d $$
$$ \Rightarrow \overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b \times \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b \times \overrightarrow d } \right)$$
$$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow c } \right)\overrightarrow b - \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\overrightarrow c = \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow d } \right)\overrightarrow b - \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\overrightarrow d $$
$$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\overrightarrow d = - \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow c } \right)\overrightarrow b + \left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\overrightarrow c $$
$$\overrightarrow d = \overrightarrow c - \left( {{{\overrightarrow a .\overrightarrow c } \over {\overrightarrow a .\overrightarrow b }}} \right)\overrightarrow b $$
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